Théorème de Sylvester

Théorème de Sylvester

Loi d'inertie de Sylvester

La loi d'inertie de Sylvester est un théorème de classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie.

Soit \,V un espace vectoriel sur \,\R de dimension n, et \,q une forme quadratique de rang r. Il existe un entier s\le r et des formes linéaires indépendantes \,l_1,...,l_r telles que

q=-\sum_{i=1}^sl_i^2+\sum_{i=s+1}^rl_i^2

.

Cette écriture n'est pas unique, mais l'entier s n'en dépend pas. On l'appelle l'indice de \,q.

Deux formes quadratiques sur \,V sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang et même indice.


Preuve.Le théorème de réduction de Gauss assure de l'existence de r des formes linéaires indépendantes \,l_1,...,l_r et de réels \,c_1,..., c_r tous non nuls tels que q=\sum_{i=1}^rc_il_i^2. L'existence de la décomposition annoncée s'obtient en renumérotant les \,c_i de façon à mettre en premier ceux qui sont strictement négatifs, puis en remplaçant \,l_i par \sqrt{\vert c_i\vert}l_i.

Pour montrer que s ne dépend que de q, montrons que c'est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels q est définie négative. (On montrerait de même que r-s est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels q est définie positive). Soient \,(e_1,\ldots,e_n) une base de \,V dans laquelle \,l_1,...,l_r sont les r premières fonctions coordonnées (en particulier, \,e_{r+1},\ldots,e_n est une base du radical \,\mathrm{rad}(q) de \,q), et \,F^- (resp.\,F^+) le sous-espace engendré par \,e_1,\ldots,e_s (resp. \,e_{s+1},\ldots,e_r). On obtient une décomposition

V=F^-\bigoplus F^+\bigoplus \mathrm{rad(q)}

en somme directe de sous-espaces deux à deux orthogonaux pour la forme bilinéaire associée à \,q, la restriction de \,q à \,F^+ (resp.\,F^-) étant définie positive (resp. définie négative). Soit \,G un sous-espace de dimension m sur lequel \,q est définie négative. Comme \,q est définie positive sur \,F^+, ces deux sous-espaces sont en somme directe et \,q est non dégénérée sur cette somme, donc m+(r-s)=\dim G+\dim F^+\leq r, c'est-à-dire m\leq s.

Passons maintenant au critère d'équivalence. Si \,q est une forme quadratique s'écrivant

q=-\sum_{i=1}^sl_i^2+\sum_{i=s+1}^rl_i^2

,

et si \,\phi est une application linéaire inversible, on a

q\circ\phi =-\sum_{i=1}^s(l_i\circ\phi)^2+\sum_{i=s+1}^r(l_i\circ\phi)^2.

Les formes \,l_i\circ\phi sont indépendantes si les \,l_i le sont, donc \,q et \,q\circ\phi ont même indice (on sait déjà d'après la théorie générale qu'elles ont même rang). Réciproquement, si \,q et \,q^\prime ont même indice et même rang, elles ont même matrice par rapport à des bases convenables et sont donc bien équivalentes.

Liens internes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Loi d%27inertie de Sylvester ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Théorème de Sylvester de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Theoreme de Sylvester–Gallai — Théorème de Sylvester–Gallai Le théorème de Sylvester–Gallai affirme qu étant donné un ensemble fini de points du plan, on a l alternative suivante : soit tous les points sont colinéaires, soit il existe une droite qui contient exactement… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de sylvester–gallai — Le théorème de Sylvester–Gallai affirme qu étant donné un ensemble fini de points du plan, on a l alternative suivante : soit tous les points sont colinéaires, soit il existe une droite qui contient exactement deux de ces points (droite… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Sylvester–Gallai — Le théorème de Sylvester–Gallai affirme qu étant donné un ensemble fini de points du plan, on a l alternative suivante : soit tous les points sont colinéaires, soit il existe une droite qui contient exactement deux de ces points (droite… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Tchebychev — Postulat de Bertrand En mathématiques, le postulat de Bertrand, aussi appelé théorème de Tchebychev, affirme qu entre un entier et son double existe toujours un nombre premier. Plus formellement, si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2,… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Don Chakerian — Soit un ensemble d au moins trois points du plan, non tous alignés. Chaque point est colorié soit en blanc, soit en noir. Il existe alors toujours une droite monochrome (c est à dire une droite passant par au moins deux points de la même couleur… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme spectral — Théorème spectral Un ellipsoïde en trois possède autant d axes de symétrie que l espace de dimensions. Ils sont notés ici x, y et z …   Wikipédia en Français

  • Theoreme des facteurs invariants — Théorème des facteurs invariants En mathématiques, le théorème des facteurs invariants porte sur les modules de type fini sur les anneaux principaux. Les facteurs invariants sont des obstructions à l inversibilité des matrices qui n apparaissent… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de Baire-Brenef — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… …   Wikipédia en Français

  • Théorème spectral — Un ellipsoïde en trois possède autant d axes de symétrie que l espace de dimensions. Ils sont notés ici x, y et z …   Wikipédia en Français

  • Théorème des facteurs invariants — En mathématiques, le théorème des facteurs invariants porte sur les modules de type fini sur les anneaux principaux. Les facteurs invariants sont des obstructions à l inversibilité des matrices qui n apparaissent pas dans la théorie des espaces… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”