- Théorème de Sylvester
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Loi d'inertie de Sylvester
La loi d'inertie de Sylvester est un théorème de classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie.
Soit
un espace vectoriel sur
de dimension n, et
une forme quadratique de rang r. Il existe un entier
et des formes linéaires indépendantes
telles que
.
Cette écriture n'est pas unique, mais l'entier s n'en dépend pas. On l'appelle l'indice de
.
Deux formes quadratiques sur
sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang et même indice.
Preuve.Le théorème de réduction de Gauss assure de l'existence de r des formes linéaires indépendanteset de réels
tous non nuls tels que
. L'existence de la décomposition annoncée s'obtient en renumérotant les
de façon à mettre en premier ceux qui sont strictement négatifs, puis en remplaçant
par
.
Pour montrer que s ne dépend que de q, montrons que c'est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels q est définie négative. (On montrerait de même que r-s est le maximum des dimensions des sous-espaces sur lesquels q est définie positive). Soient
une base de
dans laquelle
sont les r premières fonctions coordonnées (en particulier,
est une base du radical
de
), et
(resp.
) le sous-espace engendré par
(resp.
). On obtient une décomposition
en somme directe de sous-espaces deux à deux orthogonaux pour la forme bilinéaire associée à
, la restriction de
à
(resp.
) étant définie positive (resp. définie négative). Soit
un sous-espace de dimension m sur lequel
est définie négative. Comme
est définie positive sur
, ces deux sous-espaces sont en somme directe et
est non dégénérée sur cette somme, donc
, c'est-à-dire
.
Passons maintenant au critère d'équivalence. Si
est une forme quadratique s'écrivant
,
et si
est une application linéaire inversible, on a
Les formes
sont indépendantes si les
le sont, donc
et
ont même indice (on sait déjà d'après la théorie générale qu'elles ont même rang). Réciproquement, si
et
ont même indice et même rang, elles ont même matrice par rapport à des bases convenables et sont donc bien équivalentes.
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