Lemme fondamental du calcul des variations

Lemme fondamental du calcul des variations

Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations.

Sommaire

Énoncé

Une fonction est dite de classe Ck si elle est k-fois continuement dérivable. Par exemple la classe C0 est constituée des fonctions continues, et la classe {}^{C^\infty} est constituée des fonctions infiniment dérivables.

Soit f de classe Ck sur l'intervalle [a,b] telle que

\int_a^b f(x) \, h(x)~\mathrm dx = 0

pour toute fonction h de classe Ck sur [a,b] avec h(a) = h(b) = 0.

Alors f est identiquement nulle sur l'intervalle [a,b].

Preuve

Soit f satisfaisant les hypothèses. Soit r une fonction infiniment dérivable nulle en a et b et strictement positive sur ]a, b[, par exemple : r(x) = − (x − a)(x − b). Soit h=fr. Alors h est de classe Ck sur [a,b] et

0 = \int_a^b f(x)~h(x)~\mathrm dx = \int_a^b \left(f(x)\right)^2~r(x)~\mathrm dx.

L'intégrande étant continu et positif sur l'intervalle [a, b], il est nul sur tout cet intervalle, donc f est nulle sur ]a, b[ et (par continuité) nulle aussi en a et b.

Lemme de du Bois-Reymond

Plus généralement, le résultat de ce lemme reste vrai pour f seulement localement intégrable sur un ensemble ouvert U de {}^{\R^n}, en considérant les fonctions h de classe {}^{C^\infty} et à support compact dans U : la conclusion est changée en « f est nulle presque partout »[1].

Applications

Ce lemme est utilisé pour prouver que les extrema de la fonctionnelle

J(y) = \int_{x_0}^{x_1} L(t,y,\dot y) \,\mathrm dt

sont des solutions faibles de l'équation d'Euler-Lagrange :

{\partial L(t,y,\dot y) \over \partial y} = {\mathrm d\over\mathrm dt} {\partial L(t,y,\dot y) \over \partial \dot y} .

Référence


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Lemme fondamental du calcul des variations de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Lemme Fondamental Du Calcul Des Variations — Le lemme fondamental du calcul des variations est un lemme essentiel au calcul des variations. Il énonce que si f est une fonction continue sur l intervalle [a,b], et pour toute fonction avec h(a) = h(b) = 0, alors f(x) est identiquement nulle… …   Wikipédia en Français

  • Calcul Des Variations — En analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de déterminer les points critiques ou les extrémales de fonctionnelles à l aide de l équation d Euler Lagrange. L application des… …   Wikipédia en Français

  • Calcul des variations — En analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de déterminer les points critiques ou les extrémales de fonctionnelles à l aide de l équation d Euler Lagrange. L application des… …   Wikipédia en Français

  • VARIATIONS (CALCUL DES) — L’étude d’une fonction à valeurs réelles comporte en particulier la détermination de ses extrémums. C’est là un des objets du calcul différentiel classique lorsque la source de cette fonction est un espace numérique; c’est l’objet de ce qu’Euler… …   Encyclopédie Universelle

  • Calcul variationnel — Calcul des variations En analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de déterminer les points critiques ou les extrémales de fonctionnelles à l aide de l équation d Euler… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

  • Théorème fondamental — En mathématiques, un théorème fondamental est un théorème essentiel à une branche et qui permet d établir de nouveaux théorèmes sans s appuyer sur des axiomes. Plusieurs de ces théorèmes doivent leur nom à la tradition et non à la branche qui l… …   Wikipédia en Français

  • Theoreme fondamental — Théorème fondamental En mathématiques, un théorème fondamental est un théorème essentiel à une branche et qui permet d établir de nouveaux théorèmes sans s appuyer sur des axiomes. Plusieurs de ces théorèmes doivent leur nom à la tradition et non …   Wikipédia en Français

  • Géométrie différentielle des surfaces — En mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”