Calcul variationnel

Calcul variationnel

Calcul des variations

En analyse fonctionnelle, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de déterminer les points critiques ou les extrémales de fonctionnelles à l'aide de l'équation d'Euler-Lagrange.

L'application des théories de Galois, d'Abel et de la transformée de Laplace permit d'en faire toute une branche fructueuse des mathématiques. Elle trouve de nombreuses applications en physique mathématique, comme les principes variationnels ou la recherche de courbes ou surfaces minimales comme celles associées aux théorèmes isopérimétriques, de courbes brachistochrones et de géodésiques.

Sommaire

Variations première et seconde

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Équation de Jacobi

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Points conjugués et condition de Legendre

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Condition de Weierstrass

Karl Weierstrass (1815-1897)
Condition de Weierstrass

Revenons-en à l'expression de l'intégrale

W = \int_{x_0}^{x_1} f(x,y,y')\;\mathrm dx

et considérons un champ F d'extrémales se composant d'une famille de ces courbes à un paramètre α. Chacune d'elles satisfait naturellement à l'équation d'Euler-Lagrange :

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y} = 0.

En adoptant la représentation paramétrique : x0, x1 et α, fonctions de t, x0 et x1 décrivent des courbes C et D lorsque t varie, et la variation de W d'une extrémale à l'autre est[1]

\delta W = \left[ \left( f + \frac{\partial f}{\partial y'} (Y' - y') \right) \delta x \right]_{0 \to 1},

où y' est le coefficient angulaire de la tangente à l'extrémale et Y' celui de la tangente à la courbe C ou D.

Notes

  1. ↑ En tenant compte de la formule
    \textstyle\delta W = [L_1\,\delta t_1]_{Q'_1P_1} - [L_0\,\delta t_0]_{Q'_0P_0} + \int_{(Q'_0, t_0)}^{(Q'_1, t_1)} L\;\mathrm dt - \int_{(Q_0, t_0)}^{(Q_1, t_1)} L\;\mathrm dt
    établie plus haut.

Voir aussi

Bibliographie

  • H. Goldstein (1980). Classical Mechanics (Second Edition), Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. ISBN 0-201-02969-3.

Liens internes

Articles de mathématiques en rapport avec l'analyse fonctionnelle
Fonctionnelle • Calcul des variations • Dérivée fonctionnelle • Espace de Banach • Algèbre de Banach • Espace de Hilbert • Espace de Fréchet • Variété banachique • Espace de fonctions • Noyau reproduisant • Série de Fourier • Transformée de Fourier • Distribution • Topologie faible
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