Lemme de Bézout

Lemme de Bézout

Théorème de Bachet-Bézout

Cet article parle de l'identité de Bézout et du théorème de Bézout en arithmétique. Pour le théorème de Bézout en géométrie algébrique voir Théorème de Bézout.

En mathématiques, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire :

a \cdot x + b \cdot y = PGCD(a,b)

d'inconnues x et y entiers relatifs et où a, b sont des coefficients entiers relatifs et où PGCD(a,b) est le plus grand commun diviseur de a et b .

Le théorème de Bézout affirme que l'équation a \cdot x + b \cdot y = 1 admet des solutions si et seulement si les entiers relatifs a et b sont premiers entre eux.

La première démonstration actuellement connue de ce théorème est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac ; elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, parue en 1624. Cependant, le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, notamment aux polynômes, démonstration notablement plus difficile. Par un de ces accidents de l'histoire mathématique, très fréquents, le nom de Bézout a été attribué à tort au résultat de Bachet.

Sommaire

Identité de Bézout dans l'ensemble des entiers relatifs

Théorème de Bachet de Méziriac

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581 - 1638)

Théorème —  Étant donnés deux entiers relatifs a et b, si d est le PGCD de a et de b alors il existe deux entiers relatifs x et y tels que x\cdot a + y\cdot b = d

En particulier, deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers relatifs x et y tels que x\cdot a + y\cdot b = 1

L'algorithme d'Euclide étendu, en fournissant un couple d'entiers solution de l'équation ax + by = pgcd(a,b), prouve déjà l'existence de solution à l'équation. Mais la démonstration qui suit , plus proche de celle qui sera utilisé dans les anneaux principaux, possède aussi un intérêt.

Si a et b sont nuls, leur PGCD est nul et la propriété est vérifiée.
On exclut ce cas dorénavant, en prenant par exemple a non nul.
Si A = \{xa+yb; (x;y) \in \Z^2\}, on montre que le plus petit élément strictement positif de A est le plus grand commun diviseur de a et b.
En effet A \cap \N^* est non vide (il contient la valeur absolue de a) donc contient un plus petit élément d0 = x0a + y0b. La division euclidienne de a par d0 a pour reste r qui est un entier naturel élément de A car s'écrit r = a-qd_0 = a-qx_0a-qy_0b = (1-qx_0) \cdot a + (-qy_0) \cdot b. C'est un entier plus petit que d0, il ne peut donc pas appartenir à A \cap \N^*, donc r est nul. Cela signifie que d0 divise a. De même, d0 divise b. Donc d0 est un diviseur commun à a et b.
Enfin, soit d un autre diviseur commun à a et b. Comme d divise a et b, d divise x0a + y0b donc d divise d0. d0 est bien le plus grand diviseur commun de a et b et il existe deux entiers x0 et y0 tels que pgcd(a,b) = ax0 + by0.

Ce théorème ne possède en général pas de réciproque : l'existence de deux entiers tels que d = ax + by n'assure pas que d soit le PGCD de a et b. Il suffit pour s'en convaincre de remarquer, par exemple, qu'il existe deux entiers x et y tels que 2x + 3y = 5 alors que 5 n'est pas le PGCD de 2 et 3. S'il existe deux entiers x et y tels que d = ax + by, on peut seulement dire que d est un multiple du PGCD. En effet, a et b étant des multiples de leur PGCD, ax + by est un multiple du PGCD donc si d = ax + by alors d est un multiple du PGCD de a et b.

Dans le cas de l'équation ax+by = 1, il existe cependant une réciproque : l'existence de deux entiers x et y tels que ax + by = 1 assure que 1 est un multiple du PGCD de a et b. Cela ne se peut que si le PGCD de a et b est 1 donc seulement si a et b sont premiers entre eux.

Le théorème de Bachet-Bézout assure l'existence d'un couple d'entier tels que ax + by = PGCD(a,b). L'algorithme d'Euclide étendu fournit un des couples solutions, mais il en existe, en général, une infinité d'autres..

Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et on peut écrire

(-3) \cdot 12 + 1 \cdot 42 = 6

mais aussi

4 \cdot 12 + (-1) \cdot 42 = 6.

Si le PGCD d est non nul, à partir d'un couple solution (x0,y0), il est facile de prouver que l'on a aussi :

a \cdot \left(x_0 - k \cdot {b \over d}\right) + b \cdot \left(y_0 + k \cdot {a \over d}\right) = d

où k peut varier dans \Z

Applications

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Le théorème de Bachet -Bézout intervient dans de nombreux domaine de la théorie des nombres.

Généralisation

Théorème —  Étant donnés des entiers relatifs a1, ..., an, si d est le PGCD de a1, ..., an alors il existe des entiers relatifs x1, ..., xn tels que x_1\cdot a_1 + \cdots x_n\cdot a_n = d

En particulier, a1, ..., an sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement s'il existe des entiers relatifs x1, ..., xn tels que x_1\cdot a_1 + \cdots + x_n\cdot a_n = 1 .

En d'autres termes, quand les ai ne sont pas tous nuls, le PGCD de a1, ..., an est le plus petit entier strictement positif qui peut s'écrire comme combinaison linéaire, à coefficients entiers, de a1, ..., an.

Identité de Bézout dans l'ensemble des polynômes

Article détaillé : Arithmétique des polynômes.

L'identité de Bézout se généralise à l'ensemble des polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif K

Théorème —  Étant donné une famille finie \left(P_i\right)_{i\in I} de polynômes de \mathbb{K}[X], si Δ est un PGCD de la famille \left(P_i\right)_{i\in I}, il existe une famille \left(A_i\right)_{i\in I} de polynôme de \mathbb{K}[X] telle que \Delta = \sum_{i\in I} A_iP_i

En particulier, les polynômes \left(P_i\right)_{i\in I} sont premiers entre eux (dans leur ensemble) si et seulement s'il existe une famille \left(A_i\right)_{i\in I} de polynômes de \mathbb{K}[X] telle que 1 = \sum_{i\in I} A_iP_i.

Extension aux anneaux principaux quelconques

L'identité de Bézout peut s'écrire non seulement dans l'anneau des nombres entiers relatifs, mais aussi dans tout autre anneau principal. C'est-à-dire, si A est un anneau principal, et a et b sont des éléments de A, et d est un plus grand diviseur commun de a et b, alors il existe des éléments x et y dans A tels que :

ax + by = d

Dans un anneau principal, un PGCD de a et b est un générateur de aA + bA, l'identité de Bézout est une conséquence de cette définition.


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