- Inégalité triangulaire
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En mathématiques, l'inégalité triangulaire exprime en substance que le chemin direct est le plus court. Cette inégalité peut être énoncée sous la forme d'une propriété ou bien d'une condition nécessaire à la bonne définition d'une distance.
Sommaire
Énoncés
En géométrie
Dans un plan euclidien, soit un triangle ABC. Alors les longueurs AB, AC et CB vérifient les 3 inégalités suivantes :
Deux propriétés complètent cette inégalité :
Pour les nombres complexes
En utilisant une représentation complexe du plan euclidien, on peut noter
On obtient cette formulation équivalente.
Pour
, on a :
Généralisation aux espaces préhilbertiens
Soit
un espace préhilbertien. On note
la norme associée au produit scalaire. Pour
, on vérifie alors :
Point de vue axiomatique
Voir Distance (mathématiques) pour un article plus détaillé sur la notion de distance en mathématiques.
Soient E un ensemble et
. On dit que d est une distance sur E si :
La troisième propriété demandée à d pour être une distance est de vérifier l'inégalité triangulaire.
Démonstrations
Lemme
Enoncé
Pour
:
Démonstration
Soient
et
tels que z = a + ib.
Premièrement,
.
Ensuite,
, car
Par croissance de la fonction
, on obtient
.
Finalement
.
Il y a égalité si Re(z) = | Re(z) | , c'est-à-dire si a est positif, et si | Re(z) | 2 = | z | 2, c'est-à-dire si b = 0.
Dans le cadre des nombres complexes
Soit
Inégalités
Or
, par le lemme.
Donc
Par croissance de
, on obtient
.
Posons x' = − x et y' = x + y.Par ce qui précède, on a
, c'est-à-dire
.
Donc
De même,
Finalement,.
Cas d'égalité
Supposons que | x + y | = | x | + | y | .
On a alors
. Par le lemme,
est un réel positif. C'est-à-dire que x et y ont même argument.
Donc
.
Finalement, on a bien λx = μy, avec λ = | y | et μ = | x | m.Dans le cadre d'un plan euclidien
La démonstration la plus rapide est d'utiliser une représentation complexe du plan euclidien et d'appliquer le résultat précédemment démontré.
Dans le cadre des espaces préhilbertiens
La démonstration a exactement la même structure que pour les complexes.
Soient
un espace préhilbertien et
.
Inégalités
On a
.
Par le lemme,
.
Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz,
.
D'où
.
Et donc
.
Posons a' = − a et b' = b + a. On a, par ce qui précède,
.
C'est-à-dire, comme
, on a
.
En faisant de même en intervertissant a et b, on obtient
.
Finalement,Cas d'égalité
Supposons que
, et que
.
Par ce qui précède, on a donc
.
Donc, par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz,
.
Et
est un réel positif. Comme,
, λ est aussi un réel positif.
Finalement,Articles connexes
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