Inégalité de Boole

Inégalité de Boole

En théorie des probabilités, l'inégalité de Boole stipule que pour toute famille finie ou dénombrable d'événements, la probabilité que l'un au moins des événements se réalise est inférieure ou égale à la somme des probabilités des événements pris isolément. Plus formellement,

Inégalité de Boole — Pour une famille au plus dénombrable d'événements A1, A2, A3, ..., on a :

\mathbb{P}\left(\bigcup_{n} A_n\right) \leq \sum_n \mathbb{P}\left(A_n\right).
Démonstration

On traite d'abord, par récurrence, le cas d'une famille finie (A_1, \dots, A_m) d'évènements.

Il s'agit de prouver que \mathbb{P}\left(A_1 \cup \cdots \cup A_m\right) \leq \mathbb{P}(A_1) + \cdots + \mathbb{P}(A_m).

L'inégalité est vraie au rang m = 1. On la suppose vraie à un rang m et l'on considère une famille (A_1, \dots, A_{m + 1}) de m + 1 évènements.

Soit E = A_1 \cup \cdots \cup A_m : \mathbb{P}(E) \leq \mathbb{P}(A_1) + \cdots + \mathbb{P}(A_m) (hypothèse de récurrence).

Alors : \mathbb{P}(A_1 \cup \cdots \cup A_{m+1}) = \mathbb{P}(E \cup A_{m+1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(A_{m+1}) - \mathbb{P}(E \cap A_{m+1}),

d'où : \mathbb{P}(A_1 \cup \cdots \cup A_{m+1}) \leq \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(A_{m+1}) \leq \mathbb{P}(A_1) + \cdots + \mathbb{P}(A_m) + \mathbb{P}(A_{m+1}).

On traite maintenant le cas d'une suite dénombrable (A_n)_{n \geq 1} d'évènements.

Pour tout entier strictement positif n, soit E_n = A_1 \cup \cdots \cup A_n ; alors \mathbb{P}(E_n) \leq \sum_{k=1}^n \mathbb{P}(A_k).

L'inégalité de Boole en découle par passage à la limite sur n ; en effet \bigcup_{n \geq 1} E_n = \bigcup_{n \geq 1} A_n et pour tout n, E_n \subset E_{n+1}, donc \lim \mathbb{P}(E_n) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{n \geq 1} A_n\right).

Autre méthode (traitant à la fois le cas fini et le cas dénombrable).
On pose \ A'_1 = A_1 et pour tout n \geq 2, A'_n = A_n \setminus (A_1 \cup \cdots \cup A_{n-1}).

Alors \bigcup_{n} A_n = \bigcup_{n} A'_n, et les évènements A'_1, A'_2, \dots sont deux à deux incompatibles ;
en outre, pour tout n, A'_n \subset A_n, donc \mathbb{P}(A'_n) \leq \mathbb{P}(A_n) (croissance de \mathbb{P}).

De tout ceci, il résulte : \mathbb{P}\left(\bigcup_{n} A_n\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{n} A'_n\right) = \sum_{n} \mathbb{P}(A'_n) \leq \sum_{n} \mathbb{P}(A_n) .

En termes de la théorie de la mesure, l'inégalité de Boole exprime le fait qu'une mesure de probabilité est σ-sous-additive (comme toute mesure).

Conséquence — L'intersection d'une famille finie ou dénombrable d'évènements presque certains, B1, B2, B3, ..., est presque certaine (il suffit d'appliquer l'inégalité de Boole aux complémentaires des Bn).

Inégalités de Bonferroni

Les inégalités de Bonferroni, dues à Carlo Emilio Bonferroni, généralisent l'inégalité de Boole. Elles fournissent des majorants et des minorants de la probabilité d'unions finies d'événements.

Posons :

S_1 := \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i),
S_2 := \sum_{i<j} \mathbb{P}(A_i \cap A_j),

et pour 2 < k ≤ n,

S_k := \sum \mathbb{P}(A_{i_1}\cap \cdots \cap A_{i_k} ),

où la somme est effectuée sur tous les k-uplets strictement croissants d'entiers compris entre 1 et n.

Alors pour tout entier impair k tel que 1 ≤ k ≤ n

\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \leq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j,

et pour tout entier pair k tel que 2 ≤ k ≤ n

\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right) \geq \sum_{j=1}^k (-1)^{j+1} S_j.

On retrouve l'inégalité de Boole pour k = 1.

Références

Cet article est élaboré à partir d'une traduction de l'article de Wikipédia en anglais, lui-même tiré d'un article de PlanetMath, disponible sous GFDL.

Voir aussi

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité de Boole de Wikipédia en français (auteurs)

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