- Interpolation de Berstein
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Approximation de Bernstein
L'approximation de Bernstein est une méthode d'approximation polynomiale permettant d'approcher uniformément une fonction continue
définie sur l'intervalle
par une famille de polynômes, appelés polynômes de Bernstein. Cela donne une version constructive du théorème de Stone-Weierstrass.
Ces polynômes sont de la forme
pour un entier
, où
est le coefficient binomial, c'est-à-dire le nombre de combinaisons d'un ensemble de k éléments (sans les distinguer) parmi
. On construit donc une approximation de
par la fonction
-
.
On construit
à partir des valeurs de f aux points 0,1 / n,...,1 mais, en ces points, la valeur de
peut être différente de celle de f. Selon certaines définitions, cela en fait un procédé d'interpolation ou non.
La convergence uniforme de
vers
s'énonce donc de la façon suivante : pour tout
0\," style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/51/3c2a85da9b2f2df7cc2e6b1ac862922e.png" border="0">, il existe un entier
assez grand tel que
pour tout
et tout entier
.
Il convient de noter que si
est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres
, alors
n'est rien d'autre que l'espérance de
, c'est-à-dire la moyenne de
appliquée au nombre de succès de n expériences indépendantes de probabilité
. Le convergence ponctuelle de
(c'est-à-dire pour chaque point
) vers
est alors une conséquence immédiate de la loi faible des grands nombres. En majorant la probabilité de l'écart entre
et
, on en déduit facilement la convergence uniforme de
vers
Référence
- S. Bernstein, Démonstration du théorème de Weierstrass, fondée sur le calcul des probabilités. Charkow Ges. (2) 13, 1-2, 1912.
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