Interpolation de Hermite

Interpolation de Hermite

Interpolation polynomiale

En mathématiques, en analyse numérique, l' interpolation polynomiale est une technique d'interpolation d'un ensemble de données ou d'une fonction par un polynôme. En d'autres termes, étant donné un ensemble de points (obtenu, par exemple, à la suite d'une expérience), on cherche un polynôme qui passe par tous ces points, et éventuellement vérifie d'autres conditions, de degré si possible le plus bas.

Le résultat n'est toutefois pas toujours à la hauteur des espérances : l'interpolation de Lagrange, par exemple, peut fort bien diverger même pour des fonctions très régulières (Phénomène de Runge).

Sommaire

Définition

  • Dans la version la plus simple (interpolation lagrangienne), on impose simplement que le polynôme passe par tous les points donnés. Étant donné un ensemble de n+1 points (xi,yi) (xi distincts 2 à 2), nous devons trouver un polynôme p de degré n au plus qui vérifie :
p(x_i) = y_i \mbox{ , } i=0,\ldots,n

Le théorème de l'unisolvance précise qu'il n'existe qu'un seul polynôme p de degré n au plus défini par un ensemble de n+1 points.

  • L'interpolation d'Hermite consiste à chercher un polynôme qui non seulement prend les valeurs fixées en les abscisses données, mais dont également la dérivée, donc la pente de la courbe, prend une valeur imposée en chacun de ces points. Naturellement, il faut pour cela un polynôme de degré supérieur au polynôme de Lagrange. On peut aussi imposer encore la valeur des dérivées secondes, troisièmes, etc. en chaque point. La démarche de l'interpolation newtonienne utilisant les différences divisées est particulièrement adaptée pour construire ces polynômes.
  • Avec la définition choisie dans cet article, l'approximation de Bernstein n'est pas exactement une interpolation.

Construction du polynôme d'interpolation de Lagrange

Les points rouges correspondent aux points (xk,yk), et la courbe bleue représente le polynôme d'interpolation.

Supposons que le polynôme d'interpolation est donné par :

p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0. \qquad (1)

Or p doit vérifier :

p(x_i) = y_i,\qquad \forall i \in \left\{ 0, 1, \dots, n\right\}.

afin que ce dernier passe par l'ensemble des points à interpoler. En intégrant à l'équation (1) , on obtient un système d'équations linéaires d'inconnus ak. L'écriture matricielle est la suivante :

\begin{pmatrix} x_0^n & x_0^{n-1} & x_0^{n-2} & \ldots & x_0 & 1 \\ x_1^n & x_1^{n-1} & x_1^{n-2} & \ldots & x_1 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ x_n^n & x_n^{n-1} & x_n^{n-2} & \ldots & x_n & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_n \\ a_{n-1} \\ \vdots \\ a_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}

Pour construire p(x), il suffit de résoudre ce système afin d'obtenir les valeurs des ak. Toutefois, inverser une matrice pleine est un calcul lourd (avec une méthode d'élimination de Gauss-Jordan, le calcul est de l'ordre de \frac{2}{3}n^3 opérations). Des méthodes nettement plus efficaces utilisent une base de polynômes lagrangienne ou newtonnienne pour obtenir une matrice respectivement diagonale ou triangulaire. Dans la pratique, le calcul des différences divisées remplace la résolution du système linéaire.

La matrice est une matrice du type matrice de Vandermonde. Son déterminant est non nul, ce qui prouve le théorème d'unisolvance : le polynôme d'interpolation est unique. (Cela résulte aussi du Théorème fondamental de l'algèbre, car si P et Q sont de degré n et coïncident en n + 1 points, alors P − Q = 0.)

Erreur d'interpolation

L'erreur d'interpolation lors de l'approximation d'une fonction f, c-à-d. lorsque yi = f(xi) dans ce qui précède, est donnée par une formule de type Taylor-Young : Si f est n + 1 fois continûment différentiable sur I = [min(x0,...xn,x),max(x0,...xn,x)] alors

f(x) - p_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i) avec \xi \in I.

Cette formule se démontre en appliquant de manière itérée le théorème de Rolle sur les sous-intervalles [xi − 1,...xi].

Dans le cas particulier où xi = x0 + ih (points uniformément répartis), se produit en général une aggravation catastrophique de l'erreur d'interpolation, connue sous le nom de phénomène de Runge, lorsqu'on augmente le nombre de points pour un intervalle [x0,xn] donné.

Voir aussi

Ce document provient de « Interpolation polynomiale#D.C3.A9finition ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Interpolation de Hermite de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Interpolation Polynomiale — En mathématiques, en analyse numérique, l interpolation polynomiale est une technique d interpolation d un ensemble de données ou d une fonction par un polynôme. En d autres termes, étant donné un ensemble de points (obtenu, par exemple, à la… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation Newtonienne — En analyse numérique, l interpolation newtonienne, du nom d Isaac Newton, est une méthode d interpolation polynomiale permettant d obtenir le polynôme de Lagrange comme combinaison linéaire de polynômes de la base newtonienne. Contrairement à l… …   Wikipédia en Français

  • Hermite — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom.  Pour l’article homophone, voir ermite (homonymie). Sommaire 1 …   Wikipédia en Français

  • Interpolation polynomiale — En mathématiques, en analyse numérique, l interpolation polynomiale est une technique d interpolation d un ensemble de données ou d une fonction par un polynôme. En d autres termes, étant donné un ensemble de points (obtenu, par exemple, à la… …   Wikipédia en Français

  • Interpolation newtonienne — En analyse numérique, l interpolation newtonienne, du nom d Isaac Newton, est une méthode d interpolation polynomiale permettant d obtenir le polynôme de Lagrange comme combinaison linéaire de polynômes de la base newtonienne. Contrairement à l… …   Wikipédia en Français

  • Hermite interpolation — is a method closely related to the Newton divided difference method of interpolation in numerical analysis, that allows us to consider given derivatives at data points, as well as the data points themselves. The interpolation will give a… …   Wikipedia

  • HERMITE (C.) — Les travaux du mathématicien français Charles Hermite portent surtout sur l’algèbre, la théorie des nombres et l’analyse. On lui doit de très nombreux résultats sur la théorie des invariants et sur les fonctions elliptiques et abéliennes, et il… …   Encyclopédie Universelle

  • Hermite-Interpolation — Interpolation stammt vom lateinischen Wort interpolare (auffrischen, umgestalten, verfälschen) ab. Heutzutage wird es im Sinne von einfügen benutzt. Die konkrete Bedeutung bezeichnet: in der Mathematik verschiedene Probleme und Verfahren, siehe… …   Deutsch Wikipedia

  • Hermite polynomials — In mathematics, the Hermite polynomials are a classical orthogonal polynomial sequence that arise in probability, such as the Edgeworth series; in combinatorics, as an example of an Appell sequence, obeying the umbral calculus; in numerical… …   Wikipedia

  • Interpolation — In the mathematical subfield of numerical analysis, interpolation is a method of constructing new data points within the range of a discrete set of known data points. In engineering and science one often has a number of data points, as obtained… …   Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”