Inégalité de Bessel

Inégalité de Bessel

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne ou hilbertienne, l'inégalité de Bessel est un résultat étroitement lié à la question de la projection orthogonale. Elle tient son nom du mathématicien allemand Friedrich Wilhelm Bessel.

Sommaire

Énoncé pour une famille finie

Dans tout l'article E désigne un espace préhilbertien sur le corps des réels ou celui des complexes. Le produit scalaire est noté < , > et la norme associée : || ||. La valeur absolue ou le module d'un scalaire λ est noté |λ|. Une famille de vecteurs est dite orthonormale si ces vecteurs sont de norme 1 et orthogonaux deux à deux.

Énoncé pour une famille finie —  Soit (e1, ..., en) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

\sum_{i=1}^n \left|\langle x,e_i \rangle\right|^2\leq\|x\|^2

En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'espace vectoriel engendré par les vecteurs e1, ..., en.

Démonstration

Notons F le sous-espace vectoriel engendré par la famille (e1, ..., en), et définissons le vecteur

y=\sum_{i=1}^n \langle x,e_i\rangle \cdot e_i.

Ce vecteur y appartient à F et x-y est orthogonal à chaque ej, donc à F. On a donc

\|x\|^2=\|y\|^2+\|x-y\|^2\ge\|y\|^2=\sum_{i=1}^n |\langle x,e_i\rangle|^2,

avec égalité si et seulement si x=y.

Si x=y alors x appartient à F. Réciproquement, si x appartient à F alors x-y est à la fois orthogonal à F et élément de F, donc nul, d'où x=y.

Généralisation à une famille quelconque

Le résultat précédent s'étend au cas où la famille (ei) est indexée par un ensemble I quelconque (ni fini, ni nécessairement dénombrable) :

Énoncé dans le cas général —  Soit (ei) une famille orthonormale de vecteurs. Alors pour tout vecteur x de E, l'inégalité suivante est vérifiée :

\sum_{i \in I} \left|\langle x,e_i \rangle\right|^2\leq\|x\|^2,

et l'ensemble des indices i tels que <ei, x> soit non nul est au plus dénombrable.

Cas d'égalité et unicité des coefficients de Fourier — En outre il y a égalité si et seulement si x est dans l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par la famille, et dans ce cas x s'écrit de manière unique comme somme d'une famille de terme général λiei. La somme est la suivante :

x=\sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle \cdot e_i.

Si la famille (ei) est simplement orthogonale et formée de vecteurs non nuls, l'inégalité de Bessel s'écrit :

\sum_{i\in I} \left|\frac{\langle x,e_i \rangle}{||e_i||}\right|^2\leq\|x\|^2

Si E est un espace de Hilbert, et si la famille est une base de Hilbert, alors la majoration est une égalité dénommée égalité de Parseval.

Démonstrations
  • Inégalité et dénombrabilité :

Soit J une sous-famille finie de I. Le résultat du paragraphe précédent montre que :

\sum_{j \in J} \left|\langle x,e_j \rangle\right|^2\leq\|x\|^2

Ce résultat est vrai quelle que soit la sous-famille finie J de I. Ce qui montre la majoration de l'énoncé, donc la sommabilité de la famille. Or l'ensemble des termes non nuls d'une famille sommable est au plus dénombrable.

  • Cas d'égalité :

Notons H l'espace de Hilbert complété de E, et F l'adhérence dans H du sous-espace vectoriel engendré par les ei (l'adhérence dans E de ce même sous-espace est donc F\cap E). L'inégalité précédente permet de définir, dans H,

y=\sum_{i\in I} \langle x,e_i\rangle \cdot e_i.

Le reste de la preuve est identique au cas fini.

  • Unicité des coefficients :

Si

x=\sum_{i\in I} \lambda_i \cdot e_i

alors pour tout j,

\langle x,e_j\rangle=\sum_{i\in I} \lambda_i \langle e_i,e_j\rangle=\lambda_j.

Voir aussi

Liens externes

Références


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Inégalité de Bessel de Wikipédia en français (auteurs)

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