Indépendance algébrique

Indépendance algébrique

En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble sur un corps commutatif décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme à coefficients dans ce corps.

Définition

Soient L un corps commutatif, S un sous-ensemble de L et K un sous-corps de L. On dit que S est algébriquement indépendant sur K si les éléments de S ne sont racines d'aucun polynôme non trivial à coefficients dans K.

En d'autres termes, pour tout suite finie (\alpha_1, \ldots ,\alpha_n) d'éléments distincts de S et tout polynôme non-trivial P(x_1, \ldots ,x_n) à coefficients dans K on a

P(\alpha_1, \dots ,\alpha_n) \ne 0.

En particulier, un ensemble à un seul élément {α} est algébriquement indépendant sur K si et seulement si α est transcendant sur K.

Exemples

Le sous-ensemble \{ \sqrt {\pi};2\pi +1 \} du corps des nombres réels \mathbb R n'est pas algébriquement indépendant du corps des nombres rationnels \mathbb Q puisque le polynôme P(x_1,x_2)=2x^2_1-x_2+1 n'est pas trivial et à coefficients dans \mathbb Q et P(\sqrt {\pi},2\pi +1)=0.

Le théorème de Lindemann-Weierstrass peut souvent être utilisé pour prouver que certains ensembles sont algébriquement indépendants sur \mathbb Q.

On ne sait pas si l'ensemble {π,e} est algébriquement indépendant sur \mathbb Q. Yu Nesterenko a prouvé en 1996 que {π,eπ,Γ(1 / 4)} l'est.


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Indépendance algébrique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Independance algebrique — Indépendance algébrique En algèbre, l indépendance algébrique d un ensemble sur un corps décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d un polynôme à coefficients dans ce corps. Définition Soient L un corps, S un sous ensemble de L et K un …   Wikipédia en Français

  • Indépendance Algébrique — En algèbre, l indépendance algébrique d un ensemble sur un corps décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d un polynôme à coefficients dans ce corps. Définition Soient L un corps, S un sous ensemble de L et K un sous corps de L. On dit …   Wikipédia en Français

  • Algebrique — Algébrique Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom …   Wikipédia en Français

  • Independance lineaire — Indépendance linéaire En algèbre linéaire, étant donnée une famille de vecteurs, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants si toute combinaison linéaire finie nulle de ces vecteurs a nécessairement tous ses coefficients nuls. Cela …   Wikipédia en Français

  • Indépendance Linéaire — En algèbre linéaire, étant donnée une famille de vecteurs, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants si toute combinaison linéaire finie nulle de ces vecteurs a nécessairement tous ses coefficients nuls. Cela revient à dire qu… …   Wikipédia en Français

  • Algébrique — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Algébrique », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Courbe algébrique Clôture algébrique Type… …   Wikipédia en Français

  • Indépendance linéaire — En algèbre linéaire, étant donnée une famille de vecteurs, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants, ou forment une famille libre, si toute combinaison linéaire finie nulle de ces vecteurs a nécessairement tous ses coefficients… …   Wikipédia en Français

  • Dépendance linéaire — Indépendance linéaire En algèbre linéaire, étant donnée une famille de vecteurs, les vecteurs de la famille sont linéairement indépendants si toute combinaison linéaire finie nulle de ces vecteurs a nécessairement tous ses coefficients nuls. Cela …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • Liste des articles de mathematiques — Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou probabilités et statistiques via l un des trois bandeaux suivants  …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”