Géodésie physique (pesanteur et gravité)

 Ne doit pas être confondu avec apesanteur.

Schéma montrant la vitesse d'un objet en fonction du temps lorsqu'il subit une accélération de 1 g, la pesanteur de la Terre. Il ne tient pas compte de la résistance de l'air ou de la vitesse initiale.

Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné tous les corps libres chutent en direction du sol suivant la même direction, appelée verticale^[1]. À la surface de la terre, le champ de pesanteur vaut approximativement 9,81 newton par kilogramme. La force à laquelle est soumise un corps en raison de la pesanteur est appelée poids de ce corps et est directement reliée à la pesanteur par sa masse.

Si l'essentiel de la pesanteur est d'origine gravitationnelle c'est-à-dire due à l'attraction mutuelle entre corps massifs, le fait que la pesanteur soit définie dans le référentiel terrestre et que la planète Terre soit en rotation autour de son axe introduit une correction sous la forme d'une force d'inertie centrifuge.

Cette définition est en fait généralisable aux autres planètes : on parle alors de pesanteur martienne par exemple.

Poids

Un objet de masse m dans un lieu où l'accélération de la pesanteur vaut g, apparaît soumis à une force verticale, appelée poids de l'objet : P = mg.

En 1903, on a défini le kilogramme-force comme unité de mesure force. C'était le poids d'une masse de 1 kilogramme en un lieu où l'accélération de la gravité valait g_n = 9,80665 m s^-2, l’accélération de la gravité standard.

Le kilogramme-force est une unité obsolète, valant par définition 9,80665 Newton.

Attraction gravifique

Selon Isaac Newton, qui formula la loi d'attraction universelle dans son ouvrage Principes mathématiques de la Philosophie Naturelle paru en 1687, deux points matériels P et Q, de masses respectives M_P et M_Q, s'attirent mutuellement avec une force dont l'intensité vaut , où d(P,Q) désignent la distance séparant les points P et Q, et G la constante de gravitation de Newton valant . Cette force est portée par la droite joignant les points P et Q.

En P elle est orientée vers Q : .

En Q, elle est orientée vers P : .

Dans la suite, P désignera en général le point attiré (on dit aussi le point potentié) et Q le point attirant (ou point potentiant). Nous admettrons que P est une particule-test de masse unitaire (M_P = 1). La force attirante s'exerçant en P est alors une force par unité de masse, ou force spécifique, appelée gravité ou force gravifique. Nous la dénoterons ici X(P,Q).

On a donc :

.

Les dimensions de cette force gravifique, qui selon la première loi de Newton communique une accélération (appelée accélération gravifique) à la masse unitaire en P, sont donc celles d'une accélération, c'est-à-dire LT ^{− 2}. La grandeur X s'exprime donc en m / s².

Un corps tel que la Terre est composé d'un nombre quasi-infini de points massiques, en sous-entendant par point massique un point discret tel un atome ou une molécule. La Terre dans son entièreté — ou toute partie de celle-ci — induit sur la particule-test en P une force d'attraction X résultant de la sommation vectorielle des forces exercées individuellement par tous les points massiques.

Origine de la pesanteur

La première description quantitative de la pesanteur a été donnée par la loi universelle de la gravitation de Newton. La pesanteur à la distance R du centre d'un astre sphérique isolé formé de couches homogènes, et de masse totale M est dirigée vers le centre de l'astre et vaut D'après Newton, il existe une force instantanée à distance entre deux masses m et M, valant .

ou .

La théorie de la relativité générale d'Einstein décrit comment l'espace-temps se courbe à cause de la présence d'une densité de masse. Cette théorie contient la même constante universelle de gravitation G que la théorie de Newton et coïncide avec elle tant que la pesanteur reste faible. La théorie de Newton est suffisante pour prévoir le mouvement des satellites artificiels, mais la théorie d'Einstein est indispensable pour assurer la synchronisation des horloges des satellites GPS.

Pesanteur terrestre

La Terre n'étant pas un astre sphérique isolé formé de couches homogènes, la pesanteur varie en fonction du lieu. La valeur de g = 9,81 n'est qu'approximative, entre autres du fait que la Terre n'est pas parfaitement sphérique et son rayon varie donc en fonction de la latitude, et de l'existence de forces axifuges. Ici on considère le rayon moyen de la Terre, qui vaut 6 371 km.

1. La variation la plus évidente est la variation due à l'altitude h. Pour une variation de h petite devant R, la variation relative de l'accélération de la pesanteur vaut − 2Δh / R, soit -3×10^-7 par mètre à la surface de la terre.
2. À cause de l'aplatissement de la Terre, la pesanteur varie notablement avec la latitude (0,7 % d'écart entre l'équateur et les pôles). La non-sphéricité induit des perturbations des orbites des satellites, dont l'observation précise à quelques centimètres près par le système d'orbitographie DORIS fournit, par « calcul inverse », de précieuses indications sur les écarts par rapport à la forme sphérique.
3. Les écarts de densité du sous-sol entrainent des variations locales de la pesanteur.
4. Correction de rotation terrestre. Cette correction est due à la rotation quotidienne de la Terre, qui n'est donc pas un référentiel galiléen. Ce défaut est pris en compte pour un solide au repos par l'ajout à la pesanteur d'une accélération d’entraînement axifuge, dirigée perpendiculairement à l'axe de rotation terrestre, d'expression avec T = 86164 s et d la distance entre l'objet et l'axe de rotation terrestre. La correction apportée est au maximum de 0,3 %.
5. Correction des forces de marée, notamment dues à la Lune et au Soleil. Cette correction varie au cours de la journée. Elle est de l'ordre de 2×10^-7 à la latitude de 40°.

On pourra retenir pour formule^{[réf. nécessaire]} :

avec g en m.s ^{− 2}, h hauteur en m et L latitude en unité d'angle.

Même ainsi corrigée, l'accélération de la pesanteur ne suffit pas pour décrire le mouvement de la chute des corps à la surface de la terre.

1. Le frottement de l'air doit être pris en compte. C'est lui qui fait qu'une petite boule tombe "moins vite" qu'une grosse.
2. La poussée d'Archimède. Si un objet n'est pas pesé sous vide, il faut ajouter à son poids mesuré le poids du volume d'air déplacé. Sans cette correction, un kilogramme de plume pèse un peu moins qu'un kilogramme de plomb (cela est dû au fait que le volume de ce kg de plumes est plus important que le volume du même kg de plomb et donc que la poussée d'Archimède est plus importante).
3. Si l'objet n'est pas immobile par rapport au référentiel terrestre en rotation, il faut prendre en compte l'accélération de Coriolis.

Intérêt du champ de pesanteur

L'importance du champ de pesanteur de la Terre pour les géodésiens se conçoit aisément lorsqu'on se rend compte que sa direction en chaque point, qui correspond à la verticale du lieu fournie par le fil à plomb, sert de référence lors de la mise en station de tout instrument de mesure géodésique. De manière plus détaillée, on comprend l'intérêt du champ de pesanteur pour les raisons suivantes :

• Ses valeurs à la surface et à l'extérieur de la Terre servent de référence à la plupart des quantités mesurées en géodésie. En fait, le champ de pesanteur doit être connu afin de réduire les observables géodésiques en systèmes définis géométriquement.
• La distribution des valeurs de la pesanteur à la surface terrestre permet, en combinaison avec d'autres mesures géodésiques, de déterminer la forme de cette surface.
• La surface de référence la plus importante pour les mesures de hauteurs — qu'on appelle le géoïde — est une surface de niveau du champ de pesanteur.
• L'analyse du champ de pesanteur externe fournit des informations sur la structure et les propriétés de l'intérieur de la Terre. En rendant ces informations disponibles, la géodésie devient une science auxiliaire de la géophysique. C'est ce qui s'est passé de manière accélérée pendant les dernières décennies, avec l'avènement de la géodésie spatiale.

Composantes du champ de pesanteur

Un corps solidaire de la croûte terrestre est soumis à l'attraction gravifique de la Terre et des autres corps cosmiques, ainsi qu'à la force axifuge^[2] (ou centrifuge) causée par la rotation terrestre. La résultante de ces forces est la pesanteur. Elle dépend de la localisation géographique du corps, mais également du temps. L'étude des variations spatiales et temporelles de la pesanteur est l'un des objectifs principaux de la géodésie physique. On peut remarquer d'ores et déjà que l'étude globale du champ de pesanteur de la Terre est basée en grande partie sur l'utilisation de satellites artificiels tournant autour de la Terre. La rotation de ces satellites est découplée de la rotation terrestre, et les satellites subissent par conséquent la seule composante gravifique de la planète. Cette dernière dépend toutefois elle-même implicitement de la composante axifuge, par le fait que la rotation affecte la distribution des masses en aplatissant plus ou moins les diverses strates de la Terre selon qu'elle est plus ou moins rapide.

La pesanteur est une force communiquant à une unité de masse une accélération , laquelle est variable dans l'espace et dans le temps. Dans le système international, l'unité d'accélération est le mètre par seconde par seconde (m/s²). L'intensité du vecteur pesanteur , c'est-à-dire g, au voisinage de la surface terrestre est voisine de 10 m/s², avec des variations maximales atteignant environ 0,2%. En général, les variations Δg de g sont plus importantes pour le géodésien et le géophysicien que les intensités absolues — ne fût-ce qu'à cause du fait qu'on sait faire des mesures différentielles avec plus de précision que des mesures absolues. Par conséquent, une unité pratique pour la gravimétrie est le cm/s². On a donné à cette dernière le nom « gal » en l'honneur du grand physicien italien Galileo Galilei.

La variation maximale de g à la surface de la Terre atteint donc à peu près 5 gal, et est attribuable à la variation de g avec la latitude. Des variations à plus courtes longueurs d'onde, connues comme anomalies gravimétriques du géoïde, sont typiquement de quelques dixièmes à quelques dizaines de milligals (mgal). Dans certains phénomènes géodynamiques dont l'observation est devenue possible depuis peu de temps grâce aux progrès de l'instrumentation géodésique, on s'intéresse à des variations de g en fonction du temps dont l'amplitude atteint seulement quelques microgals (µgal). En fait, des études théoriques (modes du noyau, variation séculaire de g) envisagent actuellement des variations de g se situant au niveau du nanogal (ngal).

En prospection gravimétrique et en génie civil, les anomalies significatives de g sont généralement comprises entre quelques microgals et quelques dixièmes de milligal. Pour fixer les idées, lorsqu'à la surface de la Terre nous nous élevons de trois mètres, la pesanteur varie d'environ 1 mgal. Retenons que:

• 1 gal = 10^–2 m/s² ≅ 10^–3 g ;
• 1 mgal = 10^–3 gal = 10^–5 m/s² ≅ 10^–6 g ;
• 1 µgal = 10^–6 gal = 10^–8 m/s² ≅ 10^–9 g ;
• 1 ngal = 10^–9 gal = 10^–11 m/s² ≅ 10^–12 g.

Pesanteur lunaire

Sur la Lune, la pesanteur est environ six fois moindre que sur Terre. Cela explique les bonds extraordinaires des astronautes du programme spatial américain Apollo, de la mission historique d'Apollo 11 (21 juillet 1969) à celle d'Apollo 17, Apollo 13 exclue. La prévision de ce phénomène a été popularisée dans l'album de Tintin On a marché sur la Lune…

Bibliographie

• W.A. Heiskanen et H. Moritz, Physical Geodesy, W.H. Freeman and Company, 1967, San Francisco and London. ix + 364 pp.
• B. Hofmann-Wellenhorf et H. Moritz, Physical geodesy, Springer, 2005, (ISBN 978-3-211-33544-4)

Notes et références

Voir aussi

• astronautique
• gravitation
• impesanteur
• mécanique céleste
• poids
• propriétés du potentiel newtonien
• force d'inertie

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