- Groupe totalement ordonné
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Groupe ordonné
En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d'une ensemble
, muni d'une loi de composition interne (notée
dans l'article) lui conférant une structure de groupe, et d'une relation d'ordre (notée
dans l'article) compatible avec la loi de groupe.
Sommaire
Définition de la compatibilité de l'ordre avec la loi de groupe
Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d'ordre
est compatible avec la loi
si, pour tous éléments x, y et g du groupe
, la relation
entraîne les relations
et
.
Propriétés
- Dans un groupe ordonné
, pour tous éléments x, y, x' et y', les inégalités
et
entraînent l'inégalité
.
En clair, on peut composer membre à membre des inégalités de même sens. En effet, d'après la définition, l'inégalité
entraîne
. De même, l'inégalité
entraîne
. On conclut par transitivité de la relation d'ordre.
- Dans un groupe ordonné
, pour tous éléments x et y d'inverses respectifs, pour la loi
, x − 1 et y − 1, l'inégalité
entraîne l'inégalité
.
En clair, on peut passer à l'inverse dans une inégalité en en changeant le sens. Pour le voir, il suffit, dans l'inégalité
, de composer par y − 1 à gauche et par x − 1 à droite.
Groupe totalement ordonné
On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d'ordre est totale.
Exemples
- Le groupe additif
des entiers relatifs, muni de la relation d'ordre habituelle, est un groupe abélien totalement ordonné.
- Le groupe multiplicatif
des réels strictement positifs est un autre groupe abélien totalement ordonné.
- Mais le groupe multiplicatif
des réels non nuls n'est pas un groupe ordonné. En effet, on a par exemple
, mais en passant à l'inverse, on a
frac{1}{2}" style="max-width : 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/frwiki/48/07cb67e64174355a0cda1bda2cbec2ca.png" border="0">. Cela est à relier au fait que la fonction inverse est décroissante sur
, mais pas sur
tout entier.
Voir aussi
- Portail des mathématiques
Catégories : Théorie des ordres | Groupe - Dans un groupe ordonné
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