Groupe ordonné
- Groupe ordonné
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Un groupe ordonné est un groupe muni d'une relation d'ordre respectée par les translations.
Définitions
Soit (G,.) un groupe (la loi du groupe étant notée multiplicativement) et ≤ une relation d'ordre sur G. On dit que celle-ci est compatible avec la loi du groupe lorsque pour tous éléments x, y et z du groupe , la relation x ≤ y entraîne les deux relations zx ≤ zy et xz ≤ yz. Un groupe ordonné est un ensemble muni simultanément d'une loi de groupe et d'une relation d'ordre compatible[1]. On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d'ordre est totale.
Exemples
- Le groupe multiplicatif
des réels strictement positifs est un autre groupe abélien totalement ordonné, isomorphe à 
via l'exponentielle.
- Le groupe abélien additif des fonctions continues de
vers est un groupe ordonné qui n'est pas totalement ordonné[1].
Propriétés
- Dans un groupe ordonné, pour tous éléments x, y, x' et y', les inégalités x ≤ y et x'≤ y' entraînent l'inégalité xx'≤ yy'.
Dit autrement, on peut composer membre à membre des inégalités de même sens. En effet, d'après la définition, l'inégalité x ≤ y entraîne xx'≤ yx'. De même, l'inégalité x'≤ y' entraîne yx'≤ yy'. On conclut par transitivité de la relation d'ordre.
- Dans un groupe ordonné, pour tous éléments x et y, l'inégalité x ≤ y entraîne l'inégalité y-1 ≤ x-1.
Dit autrement, on peut passer à l'inverse dans une inégalité en en changeant le sens[1]. Pour obtenir ce résultat, il suffit de multiplier l'inégalité x ≤ y par y-1 à gauche et par x-1 à droite.
Voir aussi
Références
- ↑ a, b, c et d T. S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005 (ISBN 1-85233-905-5) , p. 143
Wikimedia Foundation.
2010.
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