Groupe ordonne

Groupe ordonne

Groupe ordonné

En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d'une ensemble \mathcal{G}, muni d'une loi de composition interne (notée \star dans l'article) lui conférant une structure de groupe, et d'une relation d'ordre (notée \leq dans l'article) compatible avec la loi de groupe.

Sommaire

Définition de la compatibilité de l'ordre avec la loi de groupe

Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d'ordre \leq est compatible avec la loi \star si, pour tous éléments x, y et g du groupe \mathcal{G}, la relation x\leq y entraîne les relations g\star x\leq g\star y et x\star g\leq y\star g.

Propriétés

  • Dans un groupe ordonné \mathcal{G}, pour tous éléments x, y, x' et y', les inégalités x\leq y et x'\leq y' entraînent l'inégalité x\star x'\leq y\star y'.

En clair, on peut composer membre à membre des inégalités de même sens. En effet, d'après la définition, l'inégalité x\leq y entraîne x\star x'\leq y\star x'. De même, l'inégalité x'\leq y' entraîne y\star x'\leq y\star y'. On conclut par transitivité de la relation d'ordre.

  • Dans un groupe ordonné \mathcal{G}, pour tous éléments x et y d'inverses respectifs, pour la loi \star, x − 1 et y − 1, l'inégalité x\leq y entraîne l'inégalité y^{-1}\leq x^{-1}.

En clair, on peut passer à l'inverse dans une inégalité en en changeant le sens. Pour le voir, il suffit, dans l'inégalité x\leq y, de composer par y − 1 à gauche et par x − 1 à droite.

Groupe totalement ordonné

On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d'ordre est totale.

Exemples

  • Le groupe additif (\mathbb{Z},+) des entiers relatifs, muni de la relation d'ordre habituelle, est un groupe abélien totalement ordonné.
  • Le groupe multiplicatif \left(\mathbb{R}_+^*,\times\right) des réels strictement positifs est un autre groupe abélien totalement ordonné.
  • Mais le groupe multiplicatif \left(\mathbb{R}^*,\times\right) des réels non nuls n'est pas un groupe ordonné. En effet, on a par exemple -2\leq 2, mais en passant à l'inverse, on a \frac{1}{2}>-\frac{1}{2}. Cela est à relier au fait que la fonction inverse est décroissante sur \mathbb{R}_+^*, mais pas sur \mathbb{R}^* tout entier.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Groupe ordonn%C3%A9 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Groupe ordonne de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Groupe Ordonné — En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d une ensemble , muni d une loi de composition interne (notée dans l article) lui conférant une structure de groupe, et d une relation d ordre (notée dans l article) compatible avec la loi de… …   Wikipédia en Français

  • Groupe ordonné —  Ne doit pas être confondu avec Ordre (théorie des groupes). Un groupe ordonné est un groupe muni d une relation d ordre respectée par les translations. Sommaire 1 Définitions 2 Exemples …   Wikipédia en Français

  • Groupe totalement ordonné — Groupe ordonné En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d une ensemble , muni d une loi de composition interne (notée dans l article) lui conférant une structure de groupe, et d une relation d ordre (notée dans l article) compatible… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de recherche et d’action pour les Ministères à Venir — Groupe de recherche et d action pour les ministères à venir Le Groupe de recherche et d action pour les ministères à venir (GMV) est un groupe de recherche féministe catholique créé en France en 1974. Sommaire 1 Histoire 2 Biographies 2.1 Donna… …   Wikipédia en Français

  • Groupe Des Classes D'idéaux — En mathématiques, la théorie des corps de nombres fait apparaître un groupe abélien fini construit à partir de chaque tel corps : son groupe des classes d idéaux. Sommaire 1 Histoire et origine du groupe des classes d idéaux 2 Développement… …   Wikipédia en Français

  • Groupe des classes — d idéaux En mathématiques, la théorie des corps de nombres fait apparaître un groupe abélien fini construit à partir de chaque tel corps : son groupe des classes d idéaux. Sommaire 1 Histoire et origine du groupe des classes d idéaux 2… …   Wikipédia en Français

  • Groupe des classes d'ideaux — Groupe des classes d idéaux En mathématiques, la théorie des corps de nombres fait apparaître un groupe abélien fini construit à partir de chaque tel corps : son groupe des classes d idéaux. Sommaire 1 Histoire et origine du groupe des… …   Wikipédia en Français

  • Groupe Des Unités — En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, le groupe des unités est une notion de la théorie des anneaux. Il est constitué de l ensemble des éléments de l anneau ayant un inverse pour la deuxième loi. On l appelle parfois groupe des… …   Wikipédia en Français

  • Groupe des unites — Groupe des unités En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, le groupe des unités est une notion de la théorie des anneaux. Il est constitué de l ensemble des éléments de l anneau ayant un inverse pour la deuxième loi. On l appelle… …   Wikipédia en Français

  • Groupe fortifié François-de-Guise — Feste Leipzig Description Ceinture fortifiée seconde ceinture fortifiée de Metz Type d ouvrage fort de type …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”