Fraction rationnelle

En algèbre abstraite, une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes formels construit à l'aide d'une indéterminée. Il s'agit ici de faire le quotient de deux polynômes formels. Le quotient de deux fonctions polynômes, définies à l'aide d'une variable et non d'une indéterminée s'appelle une fonction rationnelle.

Sommaire

1 Construction algébrique
2 Cas des fractions rationnelles sur l'ensemble des réels
3 Quelles différences entre fraction rationnelle et fonction rationnelle ?
4 Fraction rationnelle à plusieurs variables
5 Notes
6 Source
7 Articles connexes

Construction algébrique

Soit K un corps commutatif (en général $\mathbb C$ ou $\R$ ). On démontre que l'ensemble des polynômes formels à une indéterminée, à coefficients dans $\mathbb K$ est un anneau intègre noté $\mathbb{K} [X]$ . On peut alors construire son corps des fractions, noté $\mathbb{K} (X)$ : Sur l'ensemble des couples éléments de $\mathbb{K} [X] \times \mathbb{K} [X]^{*}$ , on définit

Une relation d'équivalence ~ par :(P,Q) ~ (P', Q') si et seulement si PQ' = QP'
Une addition : (P,Q) + (P',Q') = (PQ' + QP', QQ')
Une multiplication : (P,Q)(P', Q') = (PP',QQ')

L'ensemble des classes d'équivalence muni de l'addition et du produit induit est alors un corps commutatif appelé corps des fractions rationnelles. Tout couple (P, Q) où Q n'est pas le polynôme nul, est alors un représentant d'une fraction rationnelle. L'application qui à tout polynôme P, associe la classe de (P, 1) est un morphisme d'anneau injectif qui plonge $\mathbb{K} [X]$ dans $\mathbb{K} (X)$ .

Article détaillé : Corps des fractions.

Fraction irréductible : un couple (P, Q) tel que P et Q soient premiers entre eux ^[1] est appelé un représentant irréductible de la classe de (P, Q) et tout autre représentant (P', Q') de la même classe est tel qu'il existe un scalaire λ tel que P' = λP et Q' = λQ. Il existe plusieurs représentants irréductible d'une même classe mais un seul représentant irréductible dans lequel Q est un polynôme unitaire ^[2]: c'est la fraction irréductible unitaire représentant la classe.

Degré d'une fraction : Pour toute fraction rationnelle F, l'élément de $\mathbb Z \cup \{- \infty\}$ défini par deg(P) - deg(Q) (où (P, Q) est un représentant de F) est indépendant du représentant de F et est appelé degré de F. Le degré d'une fraction vérifie les propriétés suivantes :

pour toutes fractions F et F' , deg(F + F') ≤ sup(deg(F), deg(F'))

pour toutes fractions F et F', deg(FF') = deg(F) + deg(F')

Racine et pôle : Si (P, Q) est la fraction irréductible représentant F, est racine de F toute racine ^[3] de P, est pôle de F toute racine de Q.

Cas des fractions rationnelles sur l'ensemble des réels

On peut munir le corps $\mathbb{R}(\mathrm{X})$ de la relation d'ordre définie par $\mathrm{F} \leq \mathrm{G}$ si on a $\mathrm{F}(t) \leq \mathrm{G}(t)$ pour tout réel t assez grand. Cette relation est alors totale. De plus, elle est compatible avec l'addition et la multiplication par les éléments positifs: $\mathbb{R}(\mathrm{X})$ a ainsi une structure de corps ordonné, et contient un sous-corps isomorphe à $\mathbb{R}$ . Il n'est pas archimédien : en effet, on a $0 < \frac{1}{\mathrm{X}} < 1$ mais, pour tout entier naturel n, $n \cdot \frac{1}{\mathrm{X}} < 1$ .

D'une manière générale, en posant |F| = max(-F, F), on dira que F est infiniment petit devant G (noté F ≪ G) si, pour tout entier naturel n, n⋅|F| < |G|.

Le degré fournit alors une échelle d'infiniment petits et d'infiniment grands par rapport aux réels : F ≪ G si, et seulement si, deg(F) < deg(G).

L'ensemble des éléments de $\mathbb{R}(\mathrm{X})$ devant lesquels les réels non nuls ne sont pas négligeables, i.e. ceux de degré inférieur ou égal à 0, forment un sous-anneau de $\mathbb{R}(\mathrm{X})$ .

Quelles différences entre fraction rationnelle et fonction rationnelle ?

À toute fraction rationnelle F, de représentant irréductible (P, Q), on peut associer une fonction rationnelle ƒ définie pour tout x tel que Q(x) est non nul, par $f : x \mapsto \frac{\mathrm{P}(x)}{\mathrm{Q}(x)}$ . Cette association comporte cependant quelques risques :

d'une part, il se peut, si le corps K est fini, que la fonction ƒ ne soit jamais définie : prendre par exemple $\mathrm{F} = \frac{1}{\mathrm{X}^2 - \mathrm{X}}$ sur le corps $\mathbb Z/2\mathbb Z$
d'autre part, la somme ou le produit de deux fractions ne peut s'effectuer que sur l'intersection des ensembles de définition et ne permet pas de transmettre les propriétés de corps : prendre par exemple F = X et $\mathrm{G} = \frac{1}{\mathrm{X}}$ alors $\forall x \in \mathbb R, f(x) = x$ , $\forall x \in \mathbb R,g(x) =\frac 1x$ , $\forall x \in \mathbb R ^*, fg(x) = \frac xx = 1$ .

On peut toutefois, dans les cas de corps comme $\mathbb C$ ou $\R$ , construire un isomorphisme entre l'ensemble des fractions rationnelles et l'ensemble des fonctions rationnelles modulo la relation d'équivalence suivante :

ƒ ~ g si et seulement s'il existe un réel A tel que , pour tout x tel que |x | ≥ A, ƒ(x ) = g (x )

Cela revient à choisir le plus grand prolongement par continuité d'une fonction rationnelle.