Formule de Faulhaber

Formule de Faulhaber

En mathématiques, la formule de Faulhaber, nommée en l'honneur de Johann Faulhaber, exprime la somme

\sum_{k=1}^x k^p = 1^p + 2^p + 3^p + \cdots + x^p

comme une fonction polynômiale de variable x de degré (p + 1), les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli.

Par la convention la plus usuelle, les nombres de Bernoulli sont

B_0 = 1,\quad B_1 = -{1 \over 2},\quad B_2 = {1 \over 6}, \quad B_3 = 0,\quad B_4 = -{1 \over 30},\quad\dots

Dans l'article, nous suivrons une convention vue moins souvent, B_1 = + \frac{1}{2}\,, et tous les autres nombres de Bernoulli restent comme au-dessus (voir ci-dessous pour plus de précision).

La formule s'écrit :

\sum_{k=1}^x k^p = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j x^{p+1-j}\qquad \left(\mbox{avec } B_1 = {1 \over 2} \mbox{ plutôt que }-{1 \over 2}\right)

(l'index j parcours jusqu'à p, non jusqu'à p + 1).

Faulhaber ne connaissait pas la formule sous cette forme. Il connaissait au moins les 17 premiers cas et le fait que lorsque l'exposant est impair, alors la somme est une fonction polynômiale de la somme dans le cas particulier où l'exposant est 1. Il doit manipuler la factorielle n! jusqu'à 24!, ce qui illustre son remarquable talent de calculateur qu'il partage avec son correspondant Ludolph van Ceulen. Il est remarquable surtout par son anticipation des sommes multiples discrètes à une époque où l'analyse balbutie. Il utilise la k-symétrie et donne aussi certaines généralisations remarquables[1].

Sommaire

Les premiers cas

1 + 2 + 3 + \cdots + x = {x^2 + x \over 2}
1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + x^2 = {2x^3 + 3x^2 + x \over 6}
1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + x^3 = {x^4 + 2x^3 + x^2 \over 4}
1^4 + 2^4 + 3^4 + \cdots + x^4 = {6x^5 + 15x^4 + 10x^3 - x \over 30}
1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + x^5 = {2x^6 + 6x^5 + 5x^4 - x^2 \over 12}
1^6 + 2^6 + 3^6 + \cdots + x^6 = {6x^7 + 21x^6 + 21x^5 -7x^3 + x \over 42}

Une autre forme

On peut voir la formule énoncée avec des termes parcourant de 1 à x - 1 plutôt que de 1 à x. Dans ce cas, la seule chose qui change est que nous prenons B1 = −1/2 plutôt que +1/2, donc le terme de deuxième plus haut degré dans chaque cas possède un signe moins plutôt qu'un signe plus.

Relation avec les polynômes de Bernoulli

On peut aussi écrire

\sum_{k=0}^{x} k^p = \frac{\varphi_{p+1}(x+1)-\varphi_{p+1}(0)}{p+1},

où \varphi_j\, est le jème polynôme de Bernoulli.

Forme symbolique

Dans le calcul symbolique classique, on traite formellement les indices j dans une suite Bj" comme s'ils étaient des exposants, c’est-à-dire, dans ce cas nous appliquons le théorème du binôme et écrivons

\sum_{k=1}^x k^p = \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j x^{p+1-j} = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B^j x^{p+1-j}


= {(B+x)^{p+1} - B^{p+1} \over p+1}.

Dans le calcul symbolique « moderne », on considère la forme linéaire T sur l'espace vectoriel des polynômes de variable b donnée par

T(b^j) = B_j.\,

On peut alors écrire

\sum_{k=1}^x k^p = \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} B_j x^{p+1-j} = {1 \over p+1} \sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} T(b^j) x^{p+1-j}


= {1 \over p+1} T\left(\sum_{j=0}^p {p+1 \choose j} b^j x^{p+1-j} \right) = T\left({(b+x)^{p+1} - b^{p+1} \over p+1}\right).

Polynômes de Faulhaber

La locution « polynômes de Faulhaber » est utilisée par certains auteurs pour faire référence à une autre entité que la suite de polynômes donnée ci-dessus.

Faulhaber a observé que si p est impair, alors

1^p + 2^p + 3^p + \cdots + x^p\,

est une fonction polynômiale de

y=1+2+3+\cdots+x\,.

En particulier

1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + x^3 = y^2\,
1^5 + 2^5 + 3^5 + \cdots + x^5 = {4y^3 - y^2 \over 3}
1^7 + 2^7 + 3^7 + \cdots + x^7 = {12y^4 -8y^3 + 2y^2 \over 6}
1^9 + 2^9 + 3^9 + \cdots + x^9 = {16y^5 - 20y^4 +12y^3 - 3y^2 \over 5}
1^{11} + 2^{11} + 3^{11} + \cdots + x^{11} = {32y^6 - 64y^5 + 68y^4 - 40y^3 + 5y^2 \over 6}

Quelques auteurs appellent ces polynômes P(y), avec y=x(x+1)/2, « polynômes de Faulhaber ».

Bibliographie

  • John H. Conway, Richard Guy, The Book of Numbers, Spring, 1998, ISBN 0-387-97993-X, page 107
  • Eric Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Chapman & Hall/CRC, 2003, ISBN 1-58488-347-2, page 2331
  • Johann Faulhaber, « Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden », Academia Algebrae, Augpurg, bey Johann Ulrich Schöigs, 1631. Call number QA154.8 F3 1631a f MATH at Stanford University Libraries.

Notes et références

  1. ↑ Voir (en) texte de Knuth

Liens externes


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