Fonctions gaussiennes

Fonctions gaussiennes

Fonction gaussienne

Une fonction gaussienne est une fonction en exponentielle de l'opposé du carré de l'abscisse (une fonction en exp(-(x2)). Elle a une forme caractéristique de courbe en cloche.

L'exemple le plus connu est la densité de probabilité de la loi normale

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\,\pi}}\, \mathrm{e}^{\displaystyle-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}}

où μ est l'espérance mathématique et σ est l'écart type.

La largeur à mi-hauteur (FWHM, full width at half maximum) H vaut

H = 2 \sqrt{2\ \ln(2)}\ \sigma \simeq 2,3548 \sigma

la demi largeur à mi-hauteur vaut donc environ 1,178·σ.

Il ne faut pas confondre ces fonctions avec la « fonction de Gauss », également appelée fonction d'erreur erf.

Fonction gaussienne pour μ = 0, σ = 1 Courbe centrée en zéro

Application

Les fonctions gaussiennes sont très utilisées en physique. En effet, nombre de phénomènes physiques suivent une distribution de type gaussien, à cause du théorème de la limite centrale. L'intérêt des fonctions gaussiennes en physique est également dû à certaines de leurs propriétés mathématiques remarquables. Par exemple, la transformée de Fourier d'une fonction gaussienne est une fonction gaussienne, ce qui entraine notamment le fait que les faisceaux lasers sont des faisceaux gaussiens.

Voir aussi

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