Fonction lorentzienne

Fonction lorentzienne
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On reconnaît une courbe lorentzienne à la forme suivante :

L(x) = \frac{1}{1+x^2}

C'est l'expression la plus simple d'une lorentzienne, centrée en x=0. Une forme paramétrée par l'abscisse x0 du sommet et la largeur Γ à mi-hauteur (couramment appelée largeur de la lorentzienne) est la fonction L définie par :

L(x) = \frac{\Gamma}{2\pi}\frac{1}{\left ( \frac{1}{2}\Gamma\right )^2 + (x-x_0)^2}=\frac{\frac{2}{\pi \Gamma}}{1+(\frac{x-x_0}{\Gamma/2})^2}

En son sommet, elle atteint :

L(x_0) = \frac{2}{\pi \Gamma}

C'est la transformée de Fourier d'une exponentielle décroissante de constante de temps \frac{1}{\pi \Gamma}.

C'est une courbe en cloche.

x0 = 0, Γ = 1
Fonction lorentzienne pour x0 = 0, Γ = 1

Sommaire

Applications

En spectrométrie d'émission ou d'absorption, une raie correspond à l'énergie de transition entre deux niveaux d'énergie. Le spectre devrait donc présenter une bande de fréquence (ou d'énergie) indéfiniment mince (signal monochromatique). Dans les faits, cette raie a une certaine largeur. Dans le cas d'un gaz, une fonction lorentzienne permet de modéliser la largeur de cette raie (dans un spectre en fréquences) en raison des collisions entre les molécules (élargissement lorentzien) : l'élargissement de la raie est dû à un raccourcissement de la durée d'émission induit par les chocs.

En diffractométrie de rayons X, une fonction lorentzienne permet de décrire le profil des pics de diffraction si l'on considère un effet de taille de cristallites (loi de Scherrer).

Voir aussi

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