Fonction de pearson

Fonction de Pearson

Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIX^e siècle et au début du XX^e siècle.

Sommaire

1 Pearson IV
2 Pearson VII
3 Voir aussi
- 3.1 Bibliographie
- 3.2 Liens externes

Pearson IV

La densité de probabilité ƒ, pour x réel, vaut :

$f(x) = k \cdot \left [ 1 + \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right )^2 \right ]^{-m} \cdot \exp \left [ - \nu \cdot \tan^{-1} \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right ) \right ]$

où

m, ν, a et λ sont des réels ;
m > 1/2 ;
k est un facteur de normalisation.

La fonction est invariante si l'on change simultanément le signe de a et de ν, on prend donc par convention

a > 0.

Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν = 0.

Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la distribution de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique placé en

$x_m = \lambda - \frac{a \nu}{2 m}$

elle présente deux points d'inflexion situés en

$x_{i+/-} = x_m \pm \frac{a}{2 m} \sqrt{\frac{4m^2 + \nu^2}{2m+1}}$ .

Sa moyenne vaut

$\langle x \rangle = \lambda - \frac{a \nu}{r}$ pour m > 1

en posant

r = 2(m - 1).

La moyenne est infinie si ν = 0 et m ≤ 1.

Sa variance vaut

$\mu_2 = \frac{a^2}{r^2(r-1)}(r^2 + \nu^2)$ pour m > 3/2.

La variance est infinie si m ≤ 3/2.

Le facteur de normalisation vaut :

$k = \frac{2^{2m-2} | \Gamma (m + i \nu /2) |^2}{\pi a \Gamma (r)}$

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

Pearson VII

La VII^e fonction de Pearson est définie, pour x entier, par

$f = \frac{1}{\left [ 1+ \left (\frac{2(x-x_0) \cdot \sqrt{2^{1/M}-1}}{w} \right )^2 \right ]^M}$

où M est le paramètre de forme, ou « largeur de Pearson ».

On écrit parfois une expression simplifiée :

$f = \left [ 1 + K^2 \frac{(x-x_0)^2}{M} \right ]^{-M}$

On a

M < 1 : distribution dit super lorentzien ;
M = 1 : distribution de Cauchy : Lorentz (lorentzienne) : Breit-Wigner ;
M = ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).

Elle est utiilsée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).

Voir aussi

Bibliographie

Karl Pearson, Contributions to the Mathematical Theory of Evolution.—II. Skew Variation in Homogeneous Material, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 186, (1895), page 343.
Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—X. Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 197, (1901), page 443.
Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—XIX. Second Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 216, (1916), page 429.

Liens externes

(en) A Guide to the Pearson Type IV Distribution, Joel Heinrich, University of Pennsylvania, 2004

Portail des probabilités et des statistiques

Ce document provient de « Fonction de Pearson ».

Catégories : Fonction remarquable | Loi de probabilité

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Fonction de pearson de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

Fonction De Pearson — Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Sommaire 1 Pearson IV … Wikipédia en Français
Fonction de Pearson — Les fonctions de Pearson ont été créées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Sommaire 1 Pearson IV 2 Pearson VII … Wikipédia en Français
Fonction de Pearson VII — Fonction de Pearson Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Sommaire 1 Pearson … Wikipédia en Français
Fonction De Voigt — Une fonction de Voigt est le produit de convolution d une fonction gaussienne et d une fonction lorentzienne ayant le même sommet. C est donc une fonction de la forme soit, si le sommet se trouve en 0 (x0 = 0) … Wikipédia en Français
Fonction de voigt — Une fonction de Voigt est le produit de convolution d une fonction gaussienne et d une fonction lorentzienne ayant le même sommet. C est donc une fonction de la forme soit, si le sommet se trouve en 0 (x0 = 0) … Wikipédia en Français
Fonction Lorentzienne — On reconnaît une courbe lorentzienne à la forme suivante : C est l expression la plus simple d une lorentzienne, centrée en x=0. Une forme paramétrée par l abscisse x0 du sommet et la largeur Γ à mi hauteur (couramment appelée largeur de la… … Wikipédia en Français
Fonction de Voigt — Pour les articles homonymes, voir Voigt. Une fonction de Voigt est le produit de convolution d une fonction gaussienne et d une fonct … Wikipédia en Français
Pearson — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Patronymes Dave Pearson (1966 ), arbitre international anglais de rugby à XV. Duke Pearson (1932 1980), pianiste et compositeur de jazz américain ;… … Wikipédia en Français
Fonction lorentzienne — Pour l’article homonyme, voir Courbe de Lorenz. On reconnaît une courbe lorentzienne à la forme suivante : C est l expression la plus simple d une lorentzienne, centrée en x=0. Une forme paramétrée par l abscisse x0 du sommet et… … Wikipédia en Français
Loi de Pearson IV — Fonction de Pearson Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Sommaire 1 Pearson … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Fonction de pearson