Loi de Pearson IV

Loi de Pearson IV

Fonction de Pearson

Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle.

Sommaire

Pearson IV

La densité de probabilité ƒ, pour x réel, vaut :

 f(x) = k \cdot \left [ 1 + \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right )^2 \right ]^{-m} \cdot \exp \left [ - \nu \cdot \tan^{-1} \left ( \frac{x - \lambda}{a}\right ) \right ]

  • m, ν, a et λ sont des réels ;
  • m > 1/2 ;
  • k est un facteur de normalisation.

La fonction est invariante si l'on change simultanément le signe de a et de ν, on prend donc par convention

a > 0.

Si m ≤ 1/2, la fonction n'est pas normalisable.

La fonction de Pearson IV est en fait une version asymétrique de la loi de Student ; de fait, on retrouve la loi de Student avec 2m-1 degrés de liberté pour ν = 0.

Pour m = 1, la distribution de Pearson IV est une forme asymétrique de la distribution de Cauchy (ou distribution de Breit-Wigner).

La fonction a un mode (sommet) unique placé en

x_m = \lambda - \frac{a \nu}{2 m}

elle présente deux points d'inflexion situés en

x_{i+/-} = x_m \pm \frac{a}{2 m} \sqrt{\frac{4m^2 + \nu^2}{2m+1}}.

Sa moyenne vaut

\langle x \rangle = \lambda - \frac{a \nu}{r} pour m > 1

en posant

r = 2(m - 1).

La moyenne est infinie si ν = 0 et m ≤ 1.

Sa variance vaut

\mu_2 = \frac{a^2}{r^2(r-1)}(r^2 + \nu^2) pour m > 3/2.

La variance est infinie si m ≤ 3/2.

Le facteur de normalisation vaut :

k = \frac{2^{2m-2} | \Gamma (m + i \nu /2) |^2}{\pi a \Gamma (r)}

où Γ est la fonction Gamma d'Euler.

Pearson VII

La VIIe fonction de Pearson est définie, pour x entier, par

f = \frac{1}{\left [ 1+ \left (\frac{2(x-x_0) \cdot \sqrt{2^{1/M}-1}}{w} \right )^2 \right ]^M}

M est le paramètre de forme, ou « largeur de Pearson ».

On écrit parfois une expression simplifiée :

f = \left [ 1 + K^2 \frac{(x-x_0)^2}{M} \right ]^{-M}

On a

  • M < 1 : distribution dit super lorentzien ;
  • M = 1 : distribution de Cauchy : Lorentz (lorentzienne) : Breit-Wigner ;
  • M = ∞ : distribution de Gauss-Laplace (gaussienne, loi normale).

Elle est utiilsée en radiocristallographie pour modéliser le profil des pics de diffraction (voir aussi Fonction de Voigt).

Voir aussi

Bibliographie

  • Karl Pearson, Contributions to the Mathematical Theory of Evolution.—II. Skew Variation in Homogeneous Material, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 186, (1895), page 343.
  • Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—X. Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 197, (1901), page 443.
  • Karl Pearson, Mathematical Contributions to the Theory of Evolution.—XIX. Second Supplement to a Memoir on Skew Variation, Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 216, (1916), page 429.

Liens externes

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques
Ce document provient de « Fonction de Pearson ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Loi de Pearson IV de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Loi De Student — Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

  • Loi de student — Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

  • Loi de Student — Pour le test statistique, voir Test t. Loi de Student Densité de probabilité / Fonction de masse Fonction de répartition …   Wikipédia en Français

  • Loi d'Okun — Croissance trimestrielle et évolution du taux de chômage aux États Unis entre 1947 et 2002 La loi d Okun, en économie, a été proposée par Arthur Okun en 1962[1]. Elle décrit une relation linéaire empirique entre le taux de …   Wikipédia en Français

  • Loi de Castle-Hardy-Weinberg — Principe de Hardy Weinberg Le principe de Hardy Weinberg pour deux allèles : l axe horizontal indique les deux fréquences d allèle p et q, l axe vertical indique la fréquence des génotypes et les trois génotypes possibles sont représentés… …   Wikipédia en Français

  • Loi de Hardy-Weinberg — Principe de Hardy Weinberg Le principe de Hardy Weinberg pour deux allèles : l axe horizontal indique les deux fréquences d allèle p et q, l axe vertical indique la fréquence des génotypes et les trois génotypes possibles sont représentés… …   Wikipédia en Français

  • Fonction De Pearson — Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Sommaire 1 Pearson IV …   Wikipédia en Français

  • Fonction de Pearson VII — Fonction de Pearson Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Sommaire 1 Pearson …   Wikipédia en Français

  • Fonction de pearson — Les fonctions de Pearson ont été crées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Sommaire 1 Pearson IV …   Wikipédia en Français

  • Fonction de Pearson — Les fonctions de Pearson ont été créées pour représenter des distributions unimodales. Il en existe douze. Elles ont été inventées par Karl Pearson à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle. Sommaire 1 Pearson IV 2 Pearson VII …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”