Fonction de Morse

Fonction de Morse

En analyse, on appelle fonction de Morse toute fonction différentiable de classe au moins C2, et dont les points critiques sont non-dégénérés (c.-à-d. dont la matrice hessienne est une forme quadratique non dégénérée). À un niveau élémentaire, les fonctions de Morse se définissent sur les ouverts de Rn ; en géométrie différentielle, elles se définissent plus généralement sur les variétés différentielles.

En topologie différentielle, l'utilisation des fonctions de Morse s'est avérée centrale dans la preuve du théorème du modifier] Non-dégénérescence d'un point critique

Articles détaillés : Matrice hessienne et Point critique.

Pour une fonction f de classe C2 définie sur un voisinage de 0 de Rn, la hessienne de f en 0, notée Hessf est toujours bien définie. C'est la forme quadratique définie sur Rn définie par :

\operatorname{Hess}_f(u,v)=\sum_{i,j=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} u_iv_j.

Il est à remarquer que cette définition est en soi non triviale car utilise implicitement le théorème de Cauchy. Cependant, si 0 est un point critique de f, et pour tout difféomorphisme local g en 0 avec g(0)=0, il vient :

\operatorname{Hess}_{fg}(u,v)= \operatorname{Hess}_f\bigl(\mathrm d_0g(u),\mathrm d_0g(v)\bigr)

Cette formule autorise de parler de la hessienne d'une fonction de classe C2 sur une variété différentielle en ses points critiques.

Une fonction f : M → R est dite de Morse lorsque pour tous ses points critiques x, la hessienne de f en x est une forme quadratique non dégénérée sur l'espace tangent Tx M.

Comportement local en un point critique

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Généricité des fonctions de Morse

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