Fonction de Mertens

Fonction de Mertens

En théorie des nombres, la fonction de Mertens est

M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)

où \mu(k)\, est la fonction de Möbius.

Puisque la fonction de Möbius ne prend que les valeurs -1, 0 et +1, il est évident qu'il n'existe pas de x tel que |M(x)| > x. La conjecture de Mertens (1897) va même plus loin, énonçant qu'il n'existerait pas de x où la valeur absolue de la fonction de Mertens excède la racine carrée de x.

Andrew Odlyzko (en) et Herman te Riele (en) ont montré en 1985 que cette conjecture était fausse[1]. Leur preuve ne produisait pas un contre-exemple explicite, mais on sait aujourd'hui que le plus petit contre-exemple est plus grand[2] que 1014 et plus petit[3] que exp(1,59.1040).

Néanmoins, l'hypothèse de Riemann est équivalente à une conjecture plus faible sur la croissance de M(x), explicitement : pour tout ε >0, M(x) = O(x^{\frac12 + \varepsilon})\,, où O désigne la notation de Landau. Puisque les pics de M croissent au moins aussi rapidement que la racine carrée de x, ceci place une limite plutôt serrée sur le taux de croissance.

Sommaire

Représentations intégrales

En utilisant le produit eulérien, on trouve que

\frac{1}{\zeta(s) }= \prod_{p} (1-p^{-s})= \sum_{n=1}^{\infty}\mu (n)n^{-s}

où \zeta(s)\, est la fonction zêta de Riemann et le produit pris sur les nombres premiers. Alors, en utilisant cette série de Dirichlet avec la formule de Perron, on obtient :

\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}ds \frac{x^{s}}{s\zeta(s) }=M(x)

où C est une courbe fermée encerclant toutes les racines de \zeta(s)\,.

Inversement, on a la transformée de Mellin

\frac{1}{\zeta(s)} = s\int_1^\infty \frac{M(x)}{x^{s+1}}\,dx

qui reste valable pour Re(s)>1\,.

Une bonne évaluation, au moins asymptotiquement, serait d'obtenir, par l'algorithme du gradient, une inégalité :

\oint_{C}dsF(s)e^{st} \sim M(e^{t})

Calcul

La fonction de Mertens a été calculée pour un intervalle de plus en plus grand de n.

Personne Année Limite
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1,5 x 105
von Sterneck 1901 5 x 105
von Sterneck 1912 5 x 106
Neubauer 1963 108
Cohen et Dress 1979 7,8 x 109
Dress 1993 1012
Lioen et van der Lune 1994 1013
Kotnik et van der Lune 2003 1014

Notes et références

  1. ↑ A. Odlyzko, H. J. J. te Riele, Disproof of the Mertens conjecture, J. reine angew. Math. 357, 138-160 (1985)
  2. ↑ T. Kotnik and J. van de Lune (2004), On the order of the Mertens function, Experimental Mathematics 13, p. 473-481
  3. ↑ T. Kotnik, Herman te Riele, The Mertens Conjecture Revisited, Lecture Notes in Computer Science 4076 (2006) (Proceedings of the 7th Algorithmic Number Theory Symposium), p. 156-167


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