Fonction carré (mathématiques élémentaires)

Fonction carré

Cet article fait partie de la série
Mathématiques élémentaires

La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles.

Propriétés

Signe: La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, $y=x\times x$ on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0.

Parité: Vient ensuite la parité de la fonction c'est-à-dire que $f (x) = f ( - x)$ . En effet avec la remarque précédente $(-x)\times(-x)=x\times x$ .

Résolution d'équation de type x² = a

Article détaillé : équation du second degré.

Quand $x 2 = a$ , il y a trois cas possibles :

$a < 0$ : Aucune solution dans l'ensemble des réels R (voire solutions irréelles)
$a = 0$ : Une solution, x = 0
$a > 0$ : Deux solutions, $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$

Par exemple, si $x 2 = 9$ alors $x = 3$ ou $x = - 3$ , car $32 = ( - 3) 2 = 9$ .

Cas de $a < 0$ et solutions complexes (voir l'article détaillé sur le Nombre Complexe): Si $a < 0$ , il n'existe aucune solution réelle, c'est à dire appartenant à R. Cependant, il existe une ou des solution(s) irréelle(s), c'est à dire complexe(s). Supposons que $a = - 9$ . On a alors :

$a = -1 \times 9$

Sachant que

x 2 = a

, on déduit ce qui suit :

$x = \sqrt{-1 \times 9} = \sqrt{-1} \times \sqrt{9} = 3 \times \sqrt{-1}$

Puisque $\sqrt{-1}$ est une nombre qui n'existe pas, on le remplace par la lettre i, choisie conventionnellement comme le nombre complexe de base et qui désigne donc la racine carrée de -1. Ainsi on a :

x = 3 i

De façon plus générale, pour

x 2 = a

et avec

a < 0

, on a $x = \sqrt{|a|} \times i$ .

Dérivée

La dérivée de la fonction carré est $2 x$ , c'est une fonction affine impaire.

Représentation graphique

Représentation graphique de la fonction x²

Dans un repère orthonormal, la fonction est représentée par une parabole dont le sommet est le point (0,0). On remarque bien que l'intégralité de la parabole se situe au-dessus de la courbe et la parité est décelable grâce à l'axe de symétrie qu'est l'axe des ordonnées.

La fonction carré étant une fonction paire, sa représentation graphique admet un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.

La fonction carré a pour limite plus l'infini en plus l'infini et en moins l'infini.

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Catégorie : Mathématiques élémentaires

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