Espace R0

Espace R0

En topologie, un espace symétrique (ou espace R0) est un cas particulier d'espace topologique. Il s'agit d'un exemple d'axiome de séparation.

Sommaire

Définition

Soit E un espace topologique. E est un espace R0 si pour tout couple d'éléments topologiquement distincts x et y de E (c’est-à-dire qu'il existe un voisinage de l'un qui ne contient pas l'autre), il existe un ouvert contenant x et pas y et un ouvert contenant y et pas x.

Propriétés

Soit E un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • E est un espace R0.
  • Pour tout x de E, l'adhérence de {x} ne contient que les points dont x n'est pas topologiquement distinct.
  • L'ultrafiltre principal en x converge seulement vers les points dont x n'est pas topologiquement distinct.
  • Le quotient de Kolmogorov de E est T1.
  • Tout ouvert est une réunion de fermés.

Un espace R0 qui est également T0 est T1.

Exemples

  • Soit \mathbb Z l'ensemble des entiers relatifs. Pour tout n \in \mathbb{Z}, on pose G_n = \mathbb Z \setminus\{n,n+1\} si n est pair et G_n = \mathbb Z\setminus\{n-1,n\} si n est impair. L'ensemble des Gn définit une prébase sur \mathbb Z : les réunions quelconques d'intersections finies de parties de \mathbb Z de la forme Gn constituent une topologie sur \mathbb Z. L'espace topologique ainsi créé est R0 ; il n'est en revanche pas T0 (et donc pas T1).

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace R0 de Wikipédia en français (auteurs)

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