Espace de suites lp

Espace de suites lp

Espace de suites lp

En mathématiques, l'espace \ell^p est un espace de suites à valeurs réelles ou complexes qui possède une structure d'espace de Banach.

Motivation

Considérons l'espace des vecteurs réels \mathbb{R}^n. La somme de vecteurs dans \mathbb{R}^n est donnée par :

(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n),

Et la multiplication par un scalaire est donnée par:

\lambda(x_1, x_2, \dots, x_n)=(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n).

La norme d'un vecteur x=(x_1, x_2, \dots, x_n) est souvent donnée par:

\|x\|=\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)^{1/2}

Mais se n'est pas la seule façon de définir une norme, si p est un nombre réel et p≥1 nous pouvons définir:

\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{1/p}

Pour chaque vecteur x=(x_1, x_2, \dots, x_n). Il s'avère que cette définition satisfait les propriétés d'une norme. Donc pour chaque p≥1, \mathbb{R}^n ensemble et la p-norme que nous venons de définir nous formons un espace de Banach.

Espace \ell^p

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité de composantes ce qui nous donne l'espace \ell^p. Pour x=(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1},\dots), une séquence infinie de nombre réels ou complexes nous définissons la somme:

(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1},\dots)+(y_1, y_2, \dots, y_n, y_{n+1},\dots)=(x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\dots),

Et la multiplication par un scalaire:

\lambda(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1},\dots) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\dots).

Nous définissons la p-norme:

\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p+|x_{n+1}|^p+\dots\right)^{1/p}.

Mais ici un problème survient, c'est que la série de droite n'est pas toujours convergente, par exemple, la série (1,1,1,...) a une p-norme infinie pour n'importe quel p. Donc l'espace \ell^p est défini comme l'ensemble des séquences infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est définie.

On définit aussi la ∞-norme comme:

\|x\|_\infty=\sup(|x_1|, |x_2|, \dots, |x_n|,|x_{n+1}|, \dots)

et l'espace correspondant \ell^\infty de tous les vecteurs ou séquences bornées. De plus on a:

\|x\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|x\|_p


Voir aussi

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