Espace de suites ℓp

Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace \ell^p est un certain espace de suites à valeurs réelles ou complexes qui possède une structure d'espace de Banach.

Motivation

Considérons l'espace vectoriel réel {}^{\R^n}, i.e. l'espace des n-uplets de nombres réels.

La norme euclidienne d'un vecteur x=(x_1, x_2, \dots, x_n) est donnée par :

\|x\|=\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)^{1/2}.

Mais pour tout nombre réel p≥1, on peut définir une autre norme sur {}^{\R^n}, appelée la p-norme, en posant :

\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{1/p}

pour chaque vecteur x=(x_1, x_2, \dots, x_n).

Pour chaque p≥1, {}^{\R^n} muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, c'est même un espace de Banach.

Espace \ell^p

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité de composantes, ce qui permet de définir l'espace \ell^p.

Plus précisément, \ell^p sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par :

(x_0, x_1, \dots, x_n, x_{n+1},\dots)+(y_0, y_1, \dots, y_n, y_{n+1},\dots)=(x_0+y_0, x_1+y_1, \dots, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\dots)

et la multiplication par un scalaire par :

\lambda(x_0, x_1, \dots, x_n, x_{n+1},\dots) = (\lambda x_0, \lambda x_1, \dots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\dots).

On définit la p-norme d'une suite x=(x_0, x_1, \dots, x_n, x_{n+1},\dots) :

\|x\|_p=\left(|x_0|^p+|x_1|^p+\dots+|x_n|^p+|x_{n+1}|^p+\dots\right)^{1/p}\in[0,+\infty].

La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1,1,1,...) a une p-norme infinie pour n'importe quel p.

L'espace \ell^p est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.

On définit aussi la ∞-norme comme :

\|x\|_\infty=\sup(|x_0|, |x_1|, \dots, |x_n|,|x_{n+1}|, \dots)

et l'espace vectoriel correspondant \ell^\infty est l'espace des suites bornées. De plus on a :

\|x\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|x\|_p.

Voir aussi


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Espace de suites ℓp de Wikipédia en français (auteurs)

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