Développement en série de Engel

Développement en série de Engel

Le développement en série de Engel d'un nombre réel positif y, moins connu que son développement en fraction continue mais étroitement lié, est son expression sous la forme (essentiellement unique)

y=\frac 1{a_1}+\frac 1{a_1a_2}+\frac 1{a_1a_2a_3}+\ldots\ ,

où les ak forment une suite croissante d'entiers strictement positifs. Il est utilisé en théorie des nombres et en théorie des probabilités.

Sommaire

Construction du développement

Soit y un réel positif (strictement).

  • Il s'écrit de manière unique sous la forme

y = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_1a_2} + \frac{1}{a_1a_2a_3}+ ... + \frac{1}{a_1a_2...a_n} + ...\ ,

où la suite (a_n)_{n\ge 1} est une suite infinie croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs.

  • De plus, ces entiers s'obtiennent par l'algorithme suivant, dû à Henry Briggs : le symbole \lfloor\ \rfloor désignant la partie entière (par défaut), on pose

\left\{\begin{matrix} { a_1 = \lfloor\frac{1}{y}\rfloor + 1} \\ { y_1 = a_1y - 1 } \end{matrix} \right. \left\{\begin{matrix} { a_2 = \lfloor\frac{1}{y_1}\rfloor + 1} \\ { y_2 = a_2y_1 - 1 } \end{matrix} \right.\qquad ... \qquad \left\{\begin{matrix} { a_{n+1} = \lfloor\frac{1}{y_n}\rfloor + 1} \\ { y_{n+1} = a_{n+1}y_n - 1\ . } \end{matrix} \right.

Une variante

  • Le réel positif y s'écrit aussi de manière unique sous la forme

y = \frac{1}{b_1} + \frac{1}{b_1b_2} + \frac{1}{b_1b_2b_3}+ ... + \frac{1}{b_1b_2...b_n} + ...\ ,

où les bk forment une suite finie ou infinie croissante (au sens large) d'entiers strictement positifs, mais où l'on s'interdit une suite infinie stationnaire.

  • De plus, ces entiers s'obtiennent en utilisant cette fois la fonction \lceil\ \rceil, appelée partie entière par excès ou « fonction plafond » :

\left\{\begin{matrix} { b_1 = \lceil\frac{1}{y}\rceil} \\ { u_1 = b_1y - 1 } \end{matrix} \right. \left\{\begin{matrix} { b_2 = \lceil\frac{1}{u_1}\rceil} \\ { u_2 = b_2u_1 - 1 } \end{matrix} \right.\qquad ... \qquad \left\{\begin{matrix} { b_{n+1} = \lceil\frac{1}{u_n}\rceil} \\ { u_{n+1} = b_{n+1}u_n - 1\ ,} \end{matrix} \right.

en convenant que si un un est nul, la suite d'entiers s'arrête à bn.

  • Le réel y est irrationnel si et seulement si la suite des bk est infinie, et dans ce cas (par unicité) les deux constructions coïncident. Lorsque y est rationnel, la suite finie (b1, ... , bn) et la suite infinie stationnaire (a1, a2, ...) coïncident jusqu'au rang n -1, et pour tout k ≥ n, ak = bn +1.

Exemples

  • Pour l'irrationnel e=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\ , la suite d'entiers (infinie, non stationnaire) obtenue par l'une ou l'autre des deux méthodes est (1,1,2,3,4,...).
  • Pour le rationnel 1/2, la première suite d'entiers (infinie stationnaire) est (3,3,3,...) tandis que la seconde (finie) est (2) :
\sum_{k=1}^\infty\frac1{3^k}=\frac12\ .

Références


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Développement en série de Engel de Wikipédia en français (auteurs)

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