Développement en série de engel

Développement en série de engel

Développement en série d'Engel

Sommaire

Construction du développement

Soit x_0 \in ]0,1]. On construit le développement de ce nombre de la manière suivante :

\left\{\begin{matrix} { a_0 = \left[\frac{1}{x_0}\right] + 1} \\ { x_1 = a_0x_0 - 1 } \end{matrix} \right. \left\{\begin{matrix} { a_1 = \left[\frac{1}{x_1}\right] + 1} \\ { x_2 = a_1x_1 - 1 } \end{matrix} \right.\qquad ... \qquad \left\{\begin{matrix} { a_n = \left[\frac{1}{x_n}\right] + 1} \\ { x_{n+1} = a_nx_n - 1 } \end{matrix} \right..

Dans ce cas, le nombre x0 s'écrit de manière unique sous la forme suivante (dite série de Engel) :

x_0 = \frac{1}{a_0} + \frac{1}{a_0a_1} + \frac{1}{a_0a_1a_2}+ ... + \frac{1}{a_0a_1...a_n} + ...

où la suite (an)n est une suite croissante d'entiers plus grands que 2.

Propriétés

Soit x_0 \in ]0,1]. Alors x0 est rationnel si, et seulement si, la suite (a_n)_{n \in \mathbb{N}} de son développement en série d'Engel est constante à partir d'un certain rang.

Exemples

Les nombres e=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}} (qui donne immédiatement son développement : an = n) et y = \sum_{n=0}^{\infty}{q^{-n^2}} (avec q \in \mathbb{N}, q \geq 2) sont irrationnels car leurs développements en série d'Engel tendent vers l'infini.

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques

Bibliographie

  • Théorie des nombres, Daniel Duverney
Ce document provient de « D%C3%A9veloppement en s%C3%A9rie d%27Engel ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Développement en série de engel de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Developpement en serie de Engel — Développement en série d Engel Sommaire 1 Construction du développement 2 Propriétés 3 Exemples 4 Bibliographie // …   Wikipédia en Français

  • Développement En Série De Engel — Développement en série d Engel Sommaire 1 Construction du développement 2 Propriétés 3 Exemples 4 Bibliographie // …   Wikipédia en Français

  • Développement en série d'Engel — Sommaire 1 Construction du développement 2 Propriétés 3 Exemples 4 Bibliographie // …   Wikipédia en Français

  • Développement en série de Engel — Le développement en série de Engel d un nombre réel positif y, moins connu que son développement en fraction continue mais étroitement lié, est son expression sous la forme (essentiellement unique) où les ak forment une suite croissante d entiers …   Wikipédia en Français

  • Developpement en serie — Développement en série Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Un développement en série est l expression d une fonction sous forme d une série de fonctions élémentaires. Sur un domaine donné,… …   Wikipédia en Français

  • Développement En Série — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Un développement en série est l expression d une fonction sous forme d une série de fonctions élémentaires. Sur un domaine donné, la fonction est égale à… …   Wikipédia en Français

  • Développement en série — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Un développement en série est l expression d une fonction sous forme d une série de fonctions élémentaires. Sur un domaine donné, la fonction est égale à… …   Wikipédia en Français

  • Friedrich Engel — Pour les articles homonymes, voir Friedrich Engels, Engel et Engels (homonymie). Friedrich Engel, né le 26 décembre 1861 à Lugau près de Chemnitz, mort le 29 septembre 1941 à Gießen, est un mathématicien allemand. Nommé à l université de Leipzig… …   Wikipédia en Français

  • Powers (série télévisée) — Pour les articles homonymes, voir Powers. Powers Titre original Powers Genre Série fantastique science fiction Créateur(s) …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”