Dérivation itérée

Dérivation itérée

En mathématiques, le concept de dérivation itérée étend le concept de dérivée en le répétant plusieurs fois.

Sommaire

Définition

Soit f une fonction de \R vers \R définie sur un intervalle I \subset \R (non vide et non réduit à un point). On s'intéresse dans cet article aux dérivées successives de cette fonction.

Dérivée première sur un intervalle

Article détaillé : Dérivabilité.

Lorsque la dérivée f'(x) existe pour tout x \in I, on dit que f est « dérivable sur I ».

On définit dans ce cas la fonction f' :

I \to \R,\ x \mapsto f'(x).

Cette fonction f' s'appelle la « fonction dérivée de f sur I » ou « fonction dérivée première de f sur I » et se note également f(1).

Dérivée seconde sur un intervalle

Article détaillé : Dérivée seconde.

Lorsque f est dérivable sur I et que la fonction f' est elle-même dérivable sur I, sa fonction dérivée sur I, (f')', s'appelle la fonction « dérivée seconde de f sur I » et se note f'' ou f(2). On dit alors que f est « dérivable deux fois sur I ».

Dérivée ne sur un intervalle

On définit par récurrence (sous réserve d'existence) les « dérivées successives de f sur I » par l’égalité

f^{(n+1)}=\bigl( \, f^{(n)} \, \bigr)'.

La fonction f(n) (où n \ge 1) est appelée fonction « dérivée ne (ou d'ordre n) de f sur I ».

Lorsqu'elle existe, on dit que f est « dérivable n fois sur I ». Dans ce cas, toutes les dérivées successives de f ayant un ordre strictement inférieur à n sont continues sur I, puisqu'elles y sont dérivables ; mais f(n) n'est pas nécessairement continue sur I : c'est ce qui motive la définition donnée infra des fonctions de classe Cn.

Nota
On convient de définir la fonction dérivée d'ordre 0 de f en posant f(0) = f.

Classe Cn

Article détaillé : Classe de régularité.

Soit n un entier naturel non nul. On dit que la fonction f est de classe Cn (ou n fois continûment dérivable) sur I si elle est n fois dérivable sur I et si la fonction f(n) est continue sur I.

Conformément à la convention indiquée supra, la fonction f est dite de classe C0 sur I si elle est continue sur I.

On remarque que les Cn sont des ensembles emboîtés.


La fonction f est dite de classe \mathrm{C}^\infty (ou indéfiniment dérivable) sur I si, pour tout n \in \N^\star, f est de classe Cn sur I. En fait :

\mathrm{C}^\infty = \bigcap_{n>0} \mathrm{C}^n.

Dérivée d'ordre non entier

Article détaillé : Analyse fractionnaire.

Toutes les définitions données ci-dessus se rapportent à une dérivation à un ordre n entier. Il peut être intéressant d'étudier le cas des dérivations à des ordres non entiers. Ceci fait l'objet d'une discipline appelée l'analyse fractionnaire et trouve de nombreuses applications dans certains domaines de la physique faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'acoustique, la thermodynamique ou l'électromagnétisme.

Formule de Leibniz

Article détaillé : Formule de Leibniz.

Le produit de deux fonctions d'une variable réelle f et g définies et dérivables jusqu'à l'ordre n sur un intervalle I est dérivable jusqu'à l'ordre n. La formule de Leibniz fournit sa dérivée d'ordre n donnée par :

(f g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \ f^{(k)}\ g^{(n-k)}

où les nombres entiers \tbinom{n}{k} sont les coefficients binomiaux.

Formule de Faà di Bruno

Article détaillé : Formule de Faà di Bruno.

La composée f\circ g : x\mapsto f(g(x)) de deux fonctions f et g respectivement définies et dérivables jusqu'à l'ordre n sur un intervalle I pour g et g(I) pour f est dérivable jusqu'à l'ordre n sur I; la formule de Faà di Bruno fournit sa dérivée d'ordre n donnée par :

{d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x)) \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j},

où la somme parcourt tous les n-uples (m1, ..., mn) vérifiant la contrainte  :1m_1+2m_2+3m_3+\cdots+nm_n=n.\,

Voir aussi

Articles connexes


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