Disque de Poincaré

Exemple de "droites" en représentation conforme

Pavage du disque de Poincaré par des carrés

Pavage du disque de Poincaré par des triangles

En géométrie, le disque de Poincaré (appelé aussi représentation conforme) est un modèle de la géométrie hyperbolique à n dimensions où les points sont situés dans la boule unité ouverte de dimension n et les droites sont soit des arcs de cercles contenus dans le disque et orthogonaux à sa frontière, soit des diamètres de la boule. En plus du modèle de Klein et demi-plan de Poincaré, il a été proposé par Eugenio Beltrami pour démontrer que la consistance de la géométrie hyperbolique était équivalente à la consistance de la géométrie euclidienne.

Sommaire

1 La fonction distance
2 Forme métrique
3 Relation avec le modèle hyperboloïde
4 Géométrie analytique
- 4.1 Droite passant par deux points
- 4.2 Angles et disque de Poincaré
5 Voir
6 Références

La fonction distance

Si u et v sont deux vecteurs de l'espace à n dimensions Rⁿ muni de la norme euclidienne, de norme inférieure à 1, alors il est possible de définir un invariant isométrique de la façon suivante :

$\delta (u, v) = 2 \frac{||u-v||^2}{(1-||u||^2)(1-||v||^2)},$

où ||*|| est la norme euclidienne. Alors la fonction distance est définie par

$d(u, v) = \operatorname{arccosh} (1+\delta (u,v)).$

Une telle fonction définit alors un espace métrique qui est un modèle d'espace hyperbolique de courbure constante -1. Pour ce modèle, l'angle entre deux courbes qui se coupent dans l'espace hyperbolique est le même que l'angle du modèle.

Forme métrique

La métrique du disque de Poincaré est donnée par la formule suivante :

$ds^2 = 4 \frac{\sum_i dx_i^2}{(1-\sum_i x_i^2)^2}.$

Relation avec le modèle hyperboloïde

Le disque de Poincaré, comme le modèle de Klein, a un rapport avec le modèle hyperboloïde. Il est possible de projeter le point [t, x₁, ... x_n] de la nappe supérieure du modèle hyperboloïde sur l'hypersurface t=0 en l'intersectant avec une droite passant par [-1, 0, ..., 0]. Le résultat est le point correspondant du disque de Poincaré.

Géométrie analytique

Droite passant par deux points

Un problème de base en géométrie analytique consiste à trouver une droite passant par deux points. Avec le disque de Poincaré, les droites sont des arcs de cercles qui ont des équations de cette forme :

x 2 + y 2 + a x + b y + 1 = 0,

qui est la forme générale d'un cercle orthogonal au cercle unité, ou des diamètres. Étant donné deux points u et v du disque qui n'appartiennent pas un diamètre, nous obtenons, pour le cercle passant par ces points :

$x^2 + y^2 + \frac{u_2(v_1^2+v_2^2)-v_2(u_1^2+u_2^2)+u_2-v_2}{u_1v_2-u_2v_1}x +$

$\frac{v_1(u_1^2+u_2^2)-u_1(v_1^2+v_2^2)+v_1-u_1}{u_1v_2-u_2v_1}y + 1 = 0.$

Si les points u et v sont des points de la frontière du disque non diamètralement opposés, cela se simplifie en :

$x^2+y^2+\frac{2(u_2-v_2)}{u_1v_2-u_2v_1}x - \frac{2(u_1-v_1)}{u_1v_2-u_2v_1}y + 1 = 0.$

Angles et disque de Poincaré

Il est possible de calculer l'angle entre un arc de cercle dont les points idéaux, qui sont ses extrêmités donnés par les vecteurs unitaires u et v, et l'arc dont les extrêmités sont s et t, au moyen d'une formule. Puisque les points idéaux sont les mêmes pour le modèle de Klein et le disque de Poincaré, les formules sont identiques pour chacun de ces modèles.

Si, dans chaque modèle, les droites sont des diamètres, tels que v=-u et t=-s, alors il est possible de trouver l'angle entre deux vecteurs unitaires, et la formule $θ$ est la suivante :

$\cos(\theta) = u \cdot s.$

Si v = -u mais t ≠ -s, la formule devient, en termes de produit vectoriel,

$\cos^2(\theta) = \frac{P^2}{QR},$

où :

$P = u \cdot (s-t),$

$Q = u \cdot u,$

$R = (s-t) \cdot (s-t) - (s \wedge t) \cdot (s \wedge t)$

Si les cordes ne sont pas des diamètres, la formule générale donne :

$\cos^2(\theta) = \frac{P^2}{QR},$

où :

$P = (u-v) \cdot (s-t) - (u \wedge v) \cdot (s \wedge t),$

$Q = (u-v) \cdot (u-v) - (u \wedge v) \cdot (u \wedge v),$

$R = (s-t) \cdot (s-t) - (s \wedge t) \cdot (s \wedge t).$

En utilisant l'identité de Binet-Cauchy et le fait qu'il s'agit de vecteurs unitaires, il est possible de réécrire les expressions ci-dessus en termes de produit scalaire :

$P = (u-v) \cdot (s-t) + (u \cdot t)(v \cdot s) - (u \cdot s)(v \cdot t),$

$Q = (1 - u \cdot v)^2,$

$R = (1 - s \cdot t)^2.$

Voir

Sur les autres projets Wikimedia :

« Disque de Poincaré », sur Wikimedia Commons (ressources multimédia)

Références

James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993

Portail de la géométrie

Catégorie :

Géométrie hyperbolique

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Disque de Poincaré de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

Disque De Poincaré — Exemple de droites en représentation conforme … Wikipédia en Français
Disque de Poincare — Disque de Poincaré Exemple de droites en représentation conforme … Wikipédia en Français
Disque de poincaré — Exemple de droites en représentation conforme … Wikipédia en Français
Poincare — Poincaré Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Patronyme Henri Poincaré (1854 1912), mathématicien et philosophe français cousin de Raymond Poincaré. Lucien Poincaré (1862 1920), haut… … Wikipédia en Français
Poincaré — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sommaire 1 Patronyme 2 Mathématiques 3 … Wikipédia en Français
Métrique de Poincaré — En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, la métrique de Poincaré, due à Henri Poincaré, est le tenseur métrique décrivant une surface de courbure négative constante. C est la métrique naturelle utilisée pour des calculs… … Wikipédia en Français
Henri Poincaré — Pour les articles homonymes, voir Poincaré. Henri Poincaré Henri Poincaré Naissance 29 avril … Wikipédia en Français
Demi-plan De Poincaré — Le demi plan de Poincaré est un sous ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d éclairer les travaux du Russe Nicolaï Lobatchevski. Sommaire 1 Le demi plan de Poincaré (1882) 1.1 Géométrie … Wikipédia en Français
Demi-plan de Poincare — Demi plan de Poincaré Le demi plan de Poincaré est un sous ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d éclairer les travaux du Russe Nicolaï Lobatchevski. Sommaire 1 Le demi plan de Poincaré (1882) 1.1… … Wikipédia en Français
Demi-plan de poincaré — Le demi plan de Poincaré est un sous ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d éclairer les travaux du Russe Nicolaï Lobatchevski. Sommaire 1 Le demi plan de Poincaré (1882) 1.1 Géométrie … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Disque de Poincaré

Sommaire

La fonction distance

Forme métrique

Relation avec le modèle hyperboloïde