Courbe quartique

Courbe quartique

En géométrie, une courbe quartique est une courbe algébrique de degré quatre.

Elle peut être définie par une équation de degré quatre:

Ax4 + By4 + Cx3y + Dx2y2 + Exy3 + Fx3 + Gy3 + Hx2y + Ixy2 + Jx2 + Ky2 + Lxy + Mx + Ny + P = 0.

Cette équation a quinze constantes. Cependant, elle peut être multipliée par une constante non-nulle sans changer la courbe. De ce fait, l'espace des courbes quartiques peut être identifié avec l'espace projectif réel \mathbb{RP}^{14}. Il en résulte qu'il y a exactement une seule courbe quartique qui passe par un ensemble de quatorze points distincts en position générale, puisque une quartique a 14 degrés de liberté.

Une courbe quartique peut avoir un maximum de:

  • Quatre composantes connexes
  • Vingt-huit bi-tangentes
  • Trois points doubles ordinaires.


Un exemple de courbe quartique (gauche) est la fenêtre de Viviani.

On distingue plusieurs familles de quartiques en fonction du genre.

  • Si le genre = 0, alors ce sont les quartiques rationnelles
  • Si le genre = 1, alors ce sont les quartiques elliptiques
  • Si le genre = 2, alors ce sont les quartiques du diable
  • Si le genre = 3, alors ce sont les quartiques de genre trois

Exemples


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