Schnitt

Schnitt

Coupure de Dedekind

En mathématiques, une coupure de Dedekind d'un ensemble totalement ordonné E est un couple (A,B) de sous-ensembles de E, lesquels forment à eux deux une partition de E, et où tout élément de A est inférieur à tout élément de B.

D'une certaine façon, une telle coupure conceptualise quelque chose qui se trouverait « entre » A et B, mais qui ne serait pas forcément un élément de E.

Les coupures de Dedekind furent introduites par Richard Dedekind comme moyen de construction de l'ensemble des nombres réels (en présentant de manière formelle ce qui se trouve « entre » les nombres rationnels).

Sommaire

Définition

Une coupure de Dedekind d’un ensemble totalement ordonné E se définit par un couple (A,B), où A \subset E et B \subset E, et tels que :

  1. A \ne \empty, B \ne \empty
  2. A \cap B = \empty
  3. A \cup B = E
  4. \forall x \in A, \forall y \in B, x<y
  5. A ne possède pas un plus grand élément.

Les points 1, 2 et 3 posent que A et B réalisent une partition de E. Par conséquent, la définition de l'un détermine entièrement l'autre.

Le point 4 pose le partage des éléments de E dans ces deux parties. Il est possible de montrer que ce point équivaut à :

  • \forall x \in E, (a\in A \land x\le a \Rightarrow x\in A) et
  • \forall y \in E, (b\in B \land y\ge b \Rightarrow y\in B).

Le point 5 permet d'associer à chaque élément de E, une coupure de Dedekind unique. Ainsi, si x \in E, on lui associe la coupure ( \{ a\in E | a < x \} , \{ b\in E | x \le b \} ), car il résulte de la définition que  ( \{ a\in E | a \le x \} , \{ b\in E | x < b\} ) n'est pas une coupure de Dedekind.

Exemples

Construction des nombres réels

Si E=\mathbb Q, l'ensemble des nombres rationnels, on peut considérer la coupure suivante :

A=\{a\in\mathbb Q | a^2<2\lor a\le 0 \}
B = \{ b\in\mathbb Q | b^2\ge 2\land b>0 \}

Cette coupure permet de représenter le nombre irrationnel \sqrt{2} qui est ici défini à la fois par l'ensemble des nombres rationnels qui lui sont inférieurs et par celui des nombres rationnels qui lui sont supérieurs.

La prise en compte de toutes les coupures de Dedekind sur \mathbb Q permet une construction de l'ensemble des nombres réels \mathbb R (voir l'article Construction des nombres réels).

Ordre sur les coupures de Dedekind

Soient (A,B) et (C,D) deux coupures de Dedekind de E. On définit un ordre sur l'ensemble des coupures de Dedekind de E en posant :

(A,B)<(C,D) \Leftrightarrow A\subset C.

Il est possible de montrer que l'ensemble des coupures de Dedekind de E muni de cet ordre possède la propriété de la borne supérieure, même si E ne la possède pas. En plongeant E dans cet ensemble, on le prolonge en un ensemble dont tout sous-ensemble possède une borne supérieure.

Voir aussi

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Coupure de Dedekind ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Schnitt de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Schnitt — Schnitt, bzw. teils auch Schneiden, steht: im Sinne einschneiden für: eine mechanisch verursachte Verletzung, die Schnittwunde der chirurgischer Schnitt, die Inzision eine Eintiefung, siehe Kerbe ein grafisches Verfahren in Kunst und Buchdruck,… …   Deutsch Wikipedia

  • Schnitt — Schnitt: Mhd., ahd. snit »Schnitt mit Messer, Säge, Sichel usw.; Ernte; Wunde«, (mhd. auch:) »Zuschnitt von Kleidern«, aengl. snide »Schnitt; Tötung; Säge«, aisl. snid »Schnitt, Abgeschnittenes« sind Substantivbildungen zu dem unter ↑ schneiden… …   Das Herkunftswörterbuch

  • Schnitt — Schnitt, 1) bei den Matrosen Art des Zweikampfes, welcher mit den krummen Matrosenmessern vollzogen wird; daher ein Schnittchen machen, auf diese Art kämpfen u. auf den S. fordern; 2) das Beschneiden der Bäume u. Weinstöcke; 3) die Gestalt,… …   Pierer's Universal-Lexikon

  • Schnitt [1] — Schnitt zweier geometrischer Gebilde heißt der Inbegriff aller Punkte, die diese Gebilde gemeinsam haben, in denen sie also einander schneiden. Zwei verschiedene Linien können einander in Punkten schneiden (den Schnittpunkten), ebenso eine Linie… …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Schnitt [2] — Schnitt, bei Büchern s. Buchbinden, S. 525; auch soviel wie Durchschnitt oder Lochmaschine (s. Lochen); bei Edelsteinen die Schlifform; in der Zeichenkunst soviel wie Querschnitt und Längsschnitt (s. Profil). S. auch Schnittmuster …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Schnitt [3] — Schnitt, ein aus den Regeln des »Pharo« und »Meine, deine Tante« kombiniertes Kartenhasardspiel, das daher den Namen hat, daß der Bankier mit einem Blatte in die volle Karte einschneidet und so selbst kupiert, indem er die obere Hälfte des Talons …   Meyers Großes Konversations-Lexikon

  • Schnitt — [Network (Rating 5600 9600)] …   Deutsch Wörterbuch

  • Schnitt — Frisur; Haarschnitt; arithmetisches Mittel (fachsprachlich); Mittelwert; Durchschnittswert; Mittelmaß; Mittel (umgangssprachlich); Durchschnitt; Schnittwunde …   Universal-Lexikon

  • Schnitt — 1. Drei Schnitt es Hämpveli, drü Hämpveli e Hampvle, drei Hampvle es Hüfeli und drü Hüfeli e Charb. Drei Schnitt machen eine Handvoll, drei Handvoll ein Häuflein und drei Häuflein eine Garbe. In der Schweiz die sprichwörtliche Zusammensetzung… …   Deutsches Sprichwörter-Lexikon

  • Schnitt — Schnịtt der; (e)s, e; 1 die Handlung, bei der man etwas schneidet: mit einem Schnitt einen Apfel teilen 2 eine Öffnung oder eine Wunde, die durch Schneiden entstanden ist: Sie hat einen tiefen Schnitt im Finger || K : Schnittwunde 3 die Form… …   Langenscheidt Großwörterbuch Deutsch als Fremdsprache

  • Schnitt — Seinen Schnitt bei etwas machen, auch: Einen guten Schnitt machen: einen beträchtlichen Gewinn erzielen, ein gutes Geschäft machen; ähnlich ›Seinen Schlag machen‹. Die Redensarten entstammen der bäuerlichen Welt und beziehen sich auf die… …   Das Wörterbuch der Idiome

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”