Ensemble Totalement Ordonné

Ensemble Totalement Ordonné

Ensemble totalement ordonné

Définition

Soit E un ensemble muni d'une relation d'ordre \preceq. Rappelons que toute relation d'ordre \preceq\, vérifie les propriétés suivantes :

  • (réflexivité) \forall x,\ x \preceq x.
  • (transitivité) \forall x,y,z,\ \bigl( x\preceq y \mathrm{\ et\ } y \preceq z\bigr) \Rightarrow x\preceq z.
  • (antisymétrie) \forall x,y,\ \bigl(x\preceq y \mathrm{\ et\ } y \preceq x\bigr) \Rightarrow x = y.

(E,\preceq) est un ensemble totalement ordonné si, en outre, tous les éléments de (E,\preceq) sont comparables pour \preceq :

  • \forall x,y,\ \bigl(x\preceq y \mathrm{\ ou\ } y \preceq x\bigr).

Exemples

  1. L'ensemble E=\bigl\{\ \emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\} \bigr\} des parties finies de {1,2} est ordonné par la relation d'inclusion. Cependant, E n'est pas totalement ordonné : {1} et {2} ne sont pas comparables au sens de l'inclusion.
  2. L'ensemble \mathbb{R}\, des nombres réels muni de la relation d'ordre usuelle {}\leq{} est totalement ordonné.

Voir aussi

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