Cosh

Cosinus hyperbolique

Graphe de la fonction cosinus hyperbolique sur une partie de $\mathbb R$

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Valeurs
4 Zéros
5 Fonction réciproque
6 Utilisation
- 6.1 Physique
- 6.2 Architecture
7 Voir aussi

Définition

La fonction cosinus hyperbolique, notée cosh (parfois, mais plus rarement, ch) est la fonction complexe suivante :

$\begin{matrix} \cosh: &\mathbb C &\longrightarrow &\mathbb C \\ \ &z &\longmapsto &\frac {e^z+e^{-z}} {2} \end{matrix}$

où $e$ est la fonction exponentielle complexe.

La fonction cosinus hyperbolique est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.

Propriétés

Propriétés générales

cosh est continue et infiniment dérivable, dite de classe $C^\infty$
La dérivée de cosh est sinh, la fonction sinus hyperbolique.
La primitive de cosh est sinh+C, à une constante d'intégration C près.
La restriction de cosh à $\mathbb R$ est paire et strictement croissante sur $\mathbb R^+$ .

Propriétés trigonométriques

De par les définitions des fonction cosinus et sinus hyperbolique, on peut déduire les égalités suivantes :

$e^z = \cosh(z) + \sinh(z) \,$

$e^{-z} = \cosh(z) - \sinh(z) \,$

Ces égalités sont analogues à la formule d'Euler en trigonométrie classique.

De même que les coordonnées (cos(t), sin(t)) définissent un cercle, (cosh(t),sinh(t)) définissent la branche positive d'une hyperbole équilatérale. On a en effet pour t>0 :

$\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1 \,$ .

D'autre part, pour $x \in \mathbb R$ :

$\cosh(i x) = \frac{(e^{i x} + e^{-i x})}{2} = \cos(x)$

$\cosh(x) = \cos(i x) \,$

$\cosh(x+y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y) \,$

$\cosh^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cosh(x)}{2}$

Développement en série de Taylor

cosh, étant indéfiniment dérivable, possède un développement en série de Taylor en tout point :

$\cosh z = 1 + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^4} {4!} + \frac {z^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{2n}}{(2n)!}$

Valeurs

Quelques valeurs de cosh :

$\cosh(0) = 1 \,$
$\cosh(1) = \frac {e^2+1}{2e}$
$\cosh(i) = \cos(1) \,$

Zéros

Tous les zéros de $cosh$ sont des imaginaires pures : $z\in \mathbb{C}, \cosh(z)=0 \Leftrightarrow z \in \{i( \pi / 2 + k \pi ) ; k \in \mathbb{Z}\}$ .

Démonstration: Soit $z = x + i y$ avec $x,y \in \mathbb{R}$ . On a alors : $\cosh(x+i y)=\cosh(x)\cos(y)-i\sinh(x)\sin(y)=0 \Leftrightarrow \cos(y)=0 \mbox{ et } \sinh(x)=0 \Leftrightarrow y \in \{\pi / 2 +k \pi ; k \in \mathbb{Z}\} \mbox{ et } x=0$ .

Fonction réciproque

Graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique sur $\left[1;+\infty\right[$

cosh admet une fonction réciproque, notée argcosh (ou argch), et nommée argument cosinus hyperbolique. Il s'agit d'une fonction à valeurs multiples complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure le segment $\left]-\infty;1\right[$ .

$\operatorname{argcosh}(z) = \ln(z + \sqrt{z+1} \sqrt {z-1})$

Pour $x \in \left[1;+\infty\right[$ , la restriction de cosh à $\mathbb R$ admet deux réciproques : $\operatorname{argcosh}(x)=\ln\left(x \pm \sqrt{x^2-1}\right)$ .

Utilisation

Physique

La courbe représentative de la fonction cosh sur $\mathbb R$ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.

Architecture

L'arche du Gateway

L'arche du Gateway à Saint-Louis (Missouri) possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation

$y=-39 \cosh \left( \frac{x}{39} \right)+231$

pour -96 < x < 96.

Voir aussi

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Cosinus hyperbolique ».

Catégories : Géométrie hyperbolique | Trigonométrie

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cosh de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем сделать НИР

Regardez d'autres dictionnaires:

Cosh — may refer to: Hyperbolic cosine, a mathematical function with notation cosh(x) A blunt metal stick used as a weapon, also known as a blackjack Various sorts of blunt instrument (bludgeon, truncheon, piece of lead pipe, piece of flexible tubing… … Wikipedia
cosh — cosh·er; cosh·er·er; cosh·ery; cosh; … English syllables
cosh — v. t. to hit (someone) with a cosh or similar bludgeon, usually on the head. [slang] [WordNet 1.5 + PJC] … The Collaborative International Dictionary of English
cosh — n. a piece of leather covered metal with a flexible handle; used for hitting people. [slang] Syn: blackjack, sap. [WordNet 1.5] … The Collaborative International Dictionary of English
cosh — v. 1. . [WordNet 1.5] … The Collaborative International Dictionary of English
cosh — Brit. ► NOUN ▪ a thick heavy stick or bar used as a weapon. ► VERB ▪ hit on the head with a cosh. ORIGIN of unknown origin … English terms dictionary
cosh — [käsh] n. [Brit slang < Romany, contr. < koshter, a skewer, stick] [Brit. Slang] a blackjack, bludgeon, or similar weapon vt. [Brit. Slang] to strike with a cosh … English World dictionary
cosh´er|er — cosh|er «KOSH uhr», transitive verb. efu>to treat with fondness; pamper. –v.i. to live at the expense of others. ╂[< Irish coisir a feast, entertainment] –cosh´er|er, noun … Useful english dictionary
cosh|er — «KOSH uhr», transitive verb. efu>to treat with fondness; pamper. –v.i. to live at the expense of others. ╂[< Irish coisir a feast, entertainment] –cosh´er|er, noun … Useful english dictionary
cosh — index cudgel Burton s Legal Thesaurus. William C. Burton. 2006 … Law dictionary
cosh — cosh, Funktionszeichen für den Hyperbelkosinus (Cosinus hyperbolicus), eine Hyperbelfunktion … Universal-Lexikon

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Cosh

Cosinus hyperbolique

Sommaire

Définition