Constantes mathematiques (representees en fraction continuee)

Constantes mathematiques (representees en fraction continuee)

Constantes mathématiques (représentées en fraction continuée)

Voici une table de constantes mathématiques exprimées par leurs notations et par leurs représentations en fraction continue :

(Constantes connues comme étant irrationnelles avec un développement en fraction continue infini : leur dernier terme est ....)

Nom Ensemble de nombres Définition ou valeur approchée Représentations en fraction continue
Λ

 

> – 2,7 · 10-9

  

0\,\!

\mathbb{N}

0\,\!

 [0;]\,\!
1/2

\mathbb{Q}

1/2\,\!

 [0; 2]\,\!
C2

 
C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}
 C_2= [0; 1, 1, 1, 16, 2, 2, 2, 2, 1, 18, 2, 2, 11, 1, 1, 2, 4, 1, 16, 3, 2, 4, 21, 2, 405, 2, 1, 33, 1, 1] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
γ

 
\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right) où ln représente le logarithme népérien.
 \gamma = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, ...] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}

 
x_{n+1} = x_n \pm \beta x_{n-1}\,\! dégénère exponentiellement quand n \rightarrow \infty\,\! avec une probabilité 1.
 \beta^{*} = [0; 1, 2, 2, 1, 3, 5, 1, 2, 6, 1, 1, 5] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}
K

\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}?
\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{N(x)\sqrt{\ln(x)}}{x} où N(x) est le nombre d'entiers positifs inférieurs à x qui sont la somme de deux carrés.
 K = [0; 1, 3, 4, 6, 1, 15, 1, 2, 2, 3, 1, 23, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 2, 3, 3, 18, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 6] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{3}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}
B4

 
B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots
 B_4 = [0; 1, 6, 1, 2, 1, 2, 956, 8, 1, 1, 1, 23] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{6}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
K

 
K = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + ...
 K = [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{10}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
M1

 
M = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - \ln(\ln(n)) \right)=\gamma + \sum_{p} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]
 M_1= [0; 3, 1, 4, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 13, 4, 2, 4, 2, 1, 33, 296, 2, 1, 5, 19, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1] = 0 + \frac{3}{1 + \frac{1}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}

1\,\!

\mathbb{N}

1\,\!

 [1;]
Nombre d'or (phi)

\overline{\mathbb{Q}}
\phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
\phi = [1; 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
EB

 

E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}

 E_B = [1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
B2

 
B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots
 B_2 = [1; 1, 9, 4, 1, 1, 8, 3, 4, 7, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 12, 4, 2, 1, 2, 2] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{9}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}
K

 
\sqrt[n]{|f_n|} \to 1,13198824\dots \mbox{quand }n \to \infty. où fn est une suite de Fibonacci aléatoire
 K = [1; 7, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 17, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2] = 1 + \frac{7}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
√2

\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}
\sqrt{2}\,\!
 \sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}
μ

 

Unique zéro positif de la fonction

{\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \; .
\mu = [1; 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 47, 2, 4, 1, 12, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 2, 1, 1, 1, 2, 30, 6, 3, 6] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{4}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}

2\,\!

\mathbb{N}

2\,\!

 [2;]\,\!
α

 

≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78

 \alpha = [2; 1, 1, 85, 2, 8, 1, 10, 16, 3, 8, 9, 2, 1, 40, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 17, 1, 1, 5, 3, 2, 6, 3, 5, 1] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{85}{1 + \cdots}}}
e

 
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, 1, ...] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
Kh

 

Pour :x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + ...}}} , il est presque toujours vrai que

\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K \approx 2,6854520010\dots
K_h = [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 90] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{5}{1 + \cdots}}}

3

\mathbb{N}

3\,\!

 [3;]\,\!
π

 
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, ...] = 3 + \frac{7}{1 + \frac{15}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}

4

\mathbb{N}

4\,\!

 [4;]\,\!
δ

 

≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61

 \delta = [4; 1, 2, 43, 2, 163, 2, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 80, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 33, 1, 1, 53, 1, 1, 1, 1, 1] = 4 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{43}{1 + \cdots}}}
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