Constantes mathématiques (représentées en fraction continuée)

Constantes mathématiques (représentées en fraction continuée)

Voici une table de constantes mathématiques exprimées par leurs notations et par leurs représentations en fraction continue :

(Constantes connues comme étant irrationnelles avec un développement en fraction continue infini : leur dernier terme est ....)

Nom Ensemble de nombres Définition ou valeur approchée Représentations en fraction continue
Λ

 

> – 2,7 · 10-9

  

0\,\!

\mathbb{N}

0\,\!

 [0;]\,\!
1/2

\mathbb{Q}

1/2\,\!

 [0; 2]\,\!
C2

 
C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}
 C_2= [0; 1, 1, 1, 16, 2, 2, 2, 2, 1, 18, 2, 2, 11, 1, 1, 2, 4, 1, 16, 3, 2, 4, 21, 2, 405, 2, 1, 33, 1, 1] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
γ

 
\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right) où ln représente le logarithme népérien.
 \gamma = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, ...] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}
K

\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}?
\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{N(x)\sqrt{\ln(x)}}{x} où N(x) est le nombre d'entiers positifs inférieurs à x qui sont la somme de deux carrés.
 K = [0; 1, 3, 4, 6, 1, 15, 1, 2, 2, 3, 1, 23, 3, 1, 1, 3, 1, 1, 7, 2, 3, 3, 18, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 6] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{3}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}
B4

 
B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots
 B_4 = [0; 1, 6, 1, 2, 1, 2, 956, 8, 1, 1, 1, 23] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{6}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
K

 
K = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + ...
 K = [0; 1, 10, 1, 8, 1, 88, 4, 1, 1, 7, 22, 1, 2, 3, 26, 1, 11, 1, 10, 1, 9, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2] = 0 + \frac{1}{1 + \frac{10}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
M1

 
M = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{p \leq n} \frac{1}{p} - \ln(\ln(n)) \right)=\gamma + \sum_{p} \left[ \ln \left( 1 - \frac{1}{p} \right) + \frac{1}{p} \right]
 M_1= [0; 3, 1, 4, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 1, 13, 4, 2, 4, 2, 1, 33, 296, 2, 1, 5, 19, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1] = 0 + \frac{3}{1 + \frac{1}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}

1\,\!

\mathbb{N}

1\,\!

 [1;]
Nombre d'or (phi)

\overline{\mathbb{Q}}
\phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
\phi = [1; 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
EB

 

E=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1}

 E_B = [1; 1, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 2, 29, 4, 1, 2, 2, 2, 2, 6, 1, 7, 1, 6, 2, 1, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 1, ...] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
B2

 
B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots
 B_2 = [1; 1, 9, 4, 1, 1, 8, 3, 4, 7, 1, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 12, 4, 2, 1, 2, 2] = 1 + \frac{1}{1 + \frac{9}{1 + \frac{4}{1 + \cdots}}}
K

 
\sqrt[n]{|f_n|} \to 1,13198824\dots \mbox{quand }n \to \infty. où fn est une suite de Fibonacci aléatoire
 K = [1; 7, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 1, 17, 1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2] = 1 + \frac{7}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
√2

\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}
\sqrt{2}\,\!
 \sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \frac{2}{1 + \cdots}}}
μ

 

Unique zéro positif de la fonction

{\rm li} (x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln (t)} \; .
\mu = [1; 2, 4, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 47, 2, 4, 1, 12, 1, 1, 2, 2, 1, 7, 2, 1, 1, 1, 2, 30, 6, 3, 6] = 1 + \frac{2}{1 + \frac{4}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}

2\,\!

\mathbb{N}

2\,\!

 [2;]\,\!
α

 

≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78

 \alpha = [2; 1, 1, 85, 2, 8, 1, 10, 16, 3, 8, 9, 2, 1, 40, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 17, 1, 1, 5, 3, 2, 6, 3, 5, 1] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{85}{1 + \cdots}}}
e

 
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
 e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 14, 1, 1, 16, 1, 1, 18, 1, 1, 20, 1, ...] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}
Kh

 

Pour :x = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + ...}}} , il est presque toujours vrai que

\lim_{n \rightarrow \infty } \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) ^{1/n} = K \approx 2,6854520010\dots
K_h = [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, 3, 2, 24, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 90] = 2 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{5}{1 + \cdots}}}

3

\mathbb{N}

3\,\!

 [3;]\,\!
π

 
\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}
\pi = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, ...] = 3 + \frac{7}{1 + \frac{15}{1 + \frac{1}{1 + \cdots}}}

4

\mathbb{N}

4\,\!

 [4;]\,\!
δ

 

≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61

 \delta = [4; 1, 2, 43, 2, 163, 2, 3, 1, 1, 2, 5, 1, 2, 3, 80, 2, 5, 2, 1, 1, 1, 33, 1, 1, 53, 1, 1, 1, 1, 1] = 4 + \frac{1}{1 + \frac{2}{1 + \frac{43}{1 + \cdots}}}

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Constantes mathématiques (représentées en fraction continuée) de Wikipédia en français (auteurs)

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