Constante de Prouhet-Thue-Morse

Constante de Prouhet-Thue-Morse

En mathématiques et dans ses applications, la constante de Prouhet-Thue-Morse est le nombre \tau\, dont le développement binaire est la suite de Prouhet-Thue-Morse. C’est-à-dire,

\tau = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{t_i}{2^{i+1}} = 0,412454033640 \ldots

où ti est la suite de Prouhet-Thue-Morse.

La série génératrice pour ti est donnée par

\tau(x) = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^{t_i} \, x^i = \frac{1}{1-x} - \sum_{i=0}^{\infty} t_i \, x^i

et peut être exprimée par

\tau(x) = \prod_{n=0}^{\infty} ( 1 - x^{2^n} ).

Note : curieusement ceci est le produit de polynômes de Frobenius, et ainsi se généralise aux corps commutatifs arbitraires.

Ce nombre a été montré transcendant par Kurt Mahler en 1929.

Applications

La constante de Prouhet-Thue-Morse apparaît dans bon nombre de contextes mathématiques. Certains d'entre eux sont listés ci-dessus.

  • Elle apparaît comme l'angle du rayon de Douady-Hubbard à la fin de la suite des ampoules à l'ouest de l'ensemble de Mandelbrot. Ceci peut être facilement compris en raison de la nature du doublement de période dans l'ensemble de Mandelbrot.

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