Suite Prouhet-Thue-Morse

Suite Prouhet-Thue-Morse

Suite de Prouhet-Thue-Morse

En mathématiques et ses applications, la suite de Prouhet-Thue-Morse (appelé souvent suite de Thue-Morse chez les anglo-saxons) est une certaine suite binaire. Elle commence par :

0 1 10 1001 10010110 1001011001101001... (Les espaces ne sont là que pour la compréhension visuelle permettant de construire tous les termes alors que la suite est à valeurs dans F = {0,1}.

Sommaire

Définition

Il y a plusieurs manières équivalentes de définir cette suite.

Relation de récurrence

La suite de Prouhet-Thue-Morse est la suite tn qui satisfait t0 = 0 et

t2n = tn
t2n + 1 = 1 − tn

pour tous les entiers naturels n.

Un produit infini

La suite peut être aussi définie par:

\prod_{i=0}^{\infty} (1 - x^{2^{i}}) = \sum_{j=0}^{\infty} (-1)^{t_j} x^{j} \mbox{,} \!

Histoire

La suite de Prouhet-Thue-Morse a été découverte pour la première fois par le mathématicien français P. Prouhet en 1859, qui l'a appliquée à la théorie des nombres. Cependant, Prouhet n'a pas mentionné la suite explicitement.

Le Norvégien Axel Thue l'a employée pour établir l'étude de la combinatoire des mots en 1906. Parce que Thue a écrit seulement en norvégien, ses publications étaient inconnues ; la suite a atteint la connaissance mondiale avec les publications de Marston Morse de 1859 à 1921, quand Morse l'a utilisée pour la géométrie différentielle.

La suite a été découverte indépendamment plusieurs fois, pas toujours par des mathématiciens professionnels. Par exemple, Max Euwe, un joueur d'échecs et professeur de mathématiques, l'a découverte en 1929 pour une application aux échecs, prouvant, par ce biais, qu'il existe des parties infinies ne comportant pas de répétition des trois mêmes coups.

Propriétés

  • Le nombre réel correspondant (0.1101001...) est un nombre transcendant.
  • Aucune séquence interne consécutive de chiffres n'est répétée trois fois dans la suite : elle est dit sans cube.

Notes et références

  • Des mots magiques infinis, J.-P. Delahaye, Pour la science, n°347, sept 2006, p90-95

voir aussi

Liens externes

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