Constante de Catalan

Constante de Catalan

En mathématiques, la constante de Catalan, nommée d'après le mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par :

K = \beta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\simeq0,915~965~594[1]

où β est la fonction beta de Dirichlet.

On ne sait pas si la constante K est rationnelle ou irrationnelle mais on s'attend à ce qu'elle soit transcendante.

Sommaire

Autres expressions

La constante K de Catalan est aussi égale à :

  • {1 \over 2} \int_0^1F(k)\, \mathrm dk\quad\text{avec}\quad F(k) = \int_0^{\frac\pi2} \frac{\, \mathrm d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \varphi}}
  • \int_0^1 {\arctan(u) \over u} \, \mathrm du
  • - \int_0^1 {\ln(u) \over 1+u^2} \, \mathrm du
  • - \int_0^{\pi/4} {\ln(\tan(u)) \, \mathrm du}
  • \int_0^1 \int_0^1 \frac1{1+x^2 y^2} \mathrm dx \mathrm dy
  • \int_0^{\pi/4} \frac u{\sin(u) \cos(u)}\mathrm du
  • \frac12\int_0^1 \mathrm{K}(x)\,\mathrm dx,

où K(x) est l'intégrale elliptique complète de première espèce.

Cette constante peut être aussi définie par la fonction de Clausen :

K=\operatorname{Cl}_2\left(\frac\pi2\right)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\frac\pi2)}{n^2},

ce qui nous donne les formules suivantes :

  • - \int_0^\frac\pi2\ln|2 \sin(t/2)| \,\mathrm dt,
  • \frac\pi2\left[1-\ln\left(\frac\pi2\right) - \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac14\right)^n\right],
  • \frac\pi2\left[3-\ln\left(\frac{15\pi}{32}\right) -4 \ln \left( \frac53\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac14\right)^n\right].

Puisque K est l'image de 2 par la fonction beta, nous avons donc un lien avec le polylogarithme :

\operatorname{Li}_2(i) = -\frac7{12}\pi^2 + iK,

ou aussi :

K= \Im (\operatorname{Li}_2(i)).

Utilisation

K apparaît en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la fonction trigamma (en) :

\psi_1\left(\frac14\right) = \pi^2 + 8K,
\psi_1\left(\frac34\right) = \pi^2 - 8K.

Simon Plouffe donne une famille infinie d'identités entre la fonction trigamma, π2 et la constante de Catalan.

K apparaît aussi dans la distribution sécante hyperbolique (en).

Séries convergeant rapidement

Les deux formules suivantes convergent rapidement vers K et sont donc ainsi appropriées pour le calcul numérique :

K = \, 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac1{2(8n+2)^2} +\frac1{2^2(8n+3)^2} -\frac1{2^3(8n+5)^2} +\frac1{2^3(8n+6)^2} -\frac1{2^4(8n+7)^2} +\frac1{2(8n+1)^2} \right) -
2 \sum_{n=0}^\infty \frac1{2^{12n}} \left( \frac1{2^4(8n+2)^2} +\frac1{2^6(8n+3)^2} -\frac1{2^9(8n+5)^2} -\frac1{2^{10} (8n+6)^2} -\frac1{2^{12} (8n+7)^2} +\frac1{2^3(8n+1)^2} \right)

et

K = \frac\pi8\ln \left(\sqrt3+2 \right) + \frac38\sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.

Les calculs théoriques pour une telle série sont donnés par Broadhurst[2].

Décimales connues

Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques[3].

Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan
Date Décimales Calculé par
2009 31 026 000 000 R. Shan et A. J. Yee
Octobre 2006 5 000 000 000 Shigeru Kondo[4]
2002 201 000 000 Xavier Gourdon et Pascal Sebah
2001 100 000 500 Xavier Gourdon et Pascal Sebah
4 janvier 1998 12 500 000 Xavier Gourdon
1997 3 379 957 Patrick Demichel
1996 1 500 000 Thomas Papanikolaou
29 septembre 1996 300 000 Thomas Papanikolaou
14 août 1996 100 000 Greg J. Fee et Simon Plouffe
1996 50 000 Greg J. Fee
1990 20 000 Greg J. Fee
1913 32 James W. L. Glaisher
1877 20 James W. L. Glaisher

Notes et références

  1. ↑ Pour plus de décimales, voir la suite A006752 de l’OEIS.
  2. ↑ (en) D. J. Broadhurst, Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5), arXiv : math.CA/9803067, 1998.
  3. ↑ (en) Constants and Records of Computation sur le site de X. Gourdon et P. Sebah.
  4. ↑ (en) Value of Catalan constant sur le site de Shigeru Kondo.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983 puis 1999 (ISBN 2-7056-1407-9)


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