- Constante de Catalan
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En mathématiques, la constante de Catalan, nommée d'après le mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par :
où β est la fonction beta de Dirichlet.
On ne sait pas si la constante K est rationnelle ou irrationnelle mais on s'attend à ce qu'elle soit transcendante.
Sommaire
Autres expressions
La constante K de Catalan est aussi égale à :
où K(x) est l'intégrale elliptique complète de première espèce.
Cette constante peut être aussi définie par la fonction de Clausen :
ce qui nous donne les formules suivantes :
Puisque K est l'image de 2 par la fonction beta, nous avons donc un lien avec le polylogarithme :
ou aussi :
Utilisation
K apparaît en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la fonction trigamma (en) :
Simon Plouffe donne une famille infinie d'identités entre la fonction trigamma, π2 et la constante de Catalan.
K apparaît aussi dans la distribution sécante hyperbolique (en).
Séries convergeant rapidement
Les deux formules suivantes convergent rapidement vers K et sont donc ainsi appropriées pour le calcul numérique :
et
Les calculs théoriques pour une telle série sont donnés par Broadhurst[2].
Décimales connues
Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques[3].
Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan Date Décimales Calculé par 2009 31 026 000 000 R. Shan et A. J. Yee Octobre 2006 5 000 000 000 Shigeru Kondo[4] 2002 201 000 000 Xavier Gourdon et Pascal Sebah 2001 100 000 500 Xavier Gourdon et Pascal Sebah 4 janvier 1998 12 500 000 Xavier Gourdon 1997 3 379 957 Patrick Demichel 1996 1 500 000 Thomas Papanikolaou 29 septembre 1996 300 000 Thomas Papanikolaou 14 août 1996 100 000 Greg J. Fee et Simon Plouffe 1996 50 000 Greg J. Fee 1990 20 000 Greg J. Fee 1913 32 James W. L. Glaisher 1877 20 James W. L. Glaisher Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Catalan's constant » (voir la liste des auteurs)
- A006752 de l’OEIS. Pour plus de décimales, voir la suite
- (en) D. J. Broadhurst, Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5), arXiv : math.CA/9803067, 1998.
- (en) Constants and Records of Computation sur le site de X. Gourdon et P. Sebah.
- (en) Value of Catalan constant sur le site de Shigeru Kondo.
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983 puis 1999 (ISBN 2-7056-1407-9)
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