Constante de catalan

Constante de catalan

Constante de Catalan

En mathématiques, la constante de Catalan, nommée d'après le mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par :

K = \beta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\simeq 0,91596559417721901505...,

β est la fonction beta de Dirichlet.

On ne sait pas si la constante K est rationnelle ou irrationnelle et on s'attend à ce qu'elle soit transcendante.

Elle est également égale à :

  • {1 \over 2} \int_{0}^{1} F\, dk avec F = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\, d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \varphi}}
  • \int_0^1 {\arctan(u) \over u} \, du
  • - \int_0^1 {\ln(u) \over 1+u^2} \, du
  • - \int_0^{\pi/4} {\ln(\tan(u)) \, du}
  • \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} dx dy
  • \int_{0}^{\pi/4} \frac{u}{\sin(u) \cos(u)} du
  • \frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx

Où K(x) est l'integrale elliptique complète de la première sorte.

Cette constante peut être aussi définie par la fonction de Clausen:

\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K= \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n^2}

Ce qui nous donne les formules suivantes:

  •  - \int_0^\frac{\pi}{2} \ln|2 \sin(t/2)| \,dt.
  • \frac{\pi}{2}\left[1-\ln\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{1}{4}\right)^n\right]
  •  \frac{\pi}{2}\left[3-\ln\left(\frac{15\pi}{32}\right)
-4 \ln \left( \frac{5}{3}\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{1}{4}\right)^n\right]

Puisque K est la fonction beta de 2, nous avons donc un lien avec le polylogarithme:

\operatorname{Li}_2(i) = -\frac{7}{12}\pi^2 + iK

Ou aussi:

K= \Im (\operatorname{Li}_2(i)).


Sommaire

Utilisation

K apparait en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la fonction trigamma:

 \psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K
 \psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8K

Simon Plouffe donne une quantité infinie d'identités entre la fonction trigamma, π2 et la constante de Catalan.

Il apparaît aussi dans la distribution sécante hyperbolique.

Séries convergeant rapidement

Les deux formules suivantes convergent rapidement vers K et sont donc ainsi appropriées pour le calcul numérique:

K = \, 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(
-\frac{1}{2(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}
-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}
+\frac{1}{2(8n+1)^2}
\right) -

2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(
\frac{1}{2^4(8n+2)^2}
+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}
-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}
-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}
-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}
+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}
\right)

et

K = \frac{\pi}{8} \ln \left(\sqrt{3} + 2 \right) + \frac{3}{8} \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.

Les calculs théoriques pour une telle série sont données par Broadhurst.[1]

Décimales connues

Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques..[2]

Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan
Date Décimales Calculé par
Octobre 2006 5,000,000,000 Shigeru Kondo[3]
2002 201,000,000 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001 100,000,500 Xavier Gourdon & Pascal Sebah
4 janvier 1998 12,500,000 Xavier Gourdon
1997 3,379,957 Patrick Demichel
1996 1,500,000 Thomas Papanikolaou
29 septembre 1996 300,000 Thomas Papanikolaou
14 août 1996 100,000 Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996 50,000 Greg J. Fee
1990 20,000 Greg J. Fee
1913 32 James W. L. Glaisher
1877 20 James W. L. Glaisher

Notes et références

Lien interne

Bibliographie

  • Les nombres remarquables, F. Le Lionnais, Hermann, 1983 puis 1999 (ISBN 2-7056-1407-9)
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