Constante de catalan

Constante de Catalan

En mathématiques, la constante de Catalan, nommée d'après le mathématicien Eugène Charles Catalan, est le nombre défini par :

$K = \beta(2)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}\simeq$ 0,91596559417721901505...,

où $β$ est la fonction beta de Dirichlet.

On ne sait pas si la constante K est rationnelle ou irrationnelle et on s'attend à ce qu'elle soit transcendante.

Elle est également égale à :

${1 \over 2} \int_{0}^{1} F\, dk$ avec $F = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\, d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2 \varphi}}$
$\int_0^1 {\arctan(u) \over u} \, du$
$- \int_0^1 {\ln(u) \over 1+u^2} \, du$
$- \int_0^{\pi/4} {\ln(\tan(u)) \, du}$
$\int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{1+x^2 y^2} dx dy$
$\int_{0}^{\pi/4} \frac{u}{\sin(u) \cos(u)} du$
$\frac{1}{2}\int_0^1 \mathrm{K}(x)\,dx$

Où K(x) est l'integrale elliptique complète de la première sorte.

Cette constante peut être aussi définie par la fonction de Clausen:

$\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=K= \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\frac{\pi}{2})}{n^2}$

Ce qui nous donne les formules suivantes:

$- \int_0^\frac{\pi}{2} \ln|2 \sin(t/2)| \,dt.$
$\frac{\pi}{2}\left[1-\ln\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{1}{4}\right)^n\right]$
$\frac{\pi}{2}\left[3-\ln\left(\frac{15\pi}{32}\right) -4 \ln \left( \frac{5}{3}\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{1}{4}\right)^n\right]$

Puisque K est la fonction beta de 2, nous avons donc un lien avec le polylogarithme:

$\operatorname{Li}_2(i) = -\frac{7}{12}\pi^2 + iK$

Ou aussi:

$K= \Im (\operatorname{Li}_2(i))$ .

Utilisation

K apparait en combinatoire, ainsi que dans les valeurs de la fonction polygamma de deuxième ordre, aussi appelée la fonction trigamma:

$\psi_{1}\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K$

$\psi_{1}\left(\frac{3}{4}\right) = \pi^2 - 8K$

Simon Plouffe donne une quantité infinie d'identités entre la fonction trigamma, $π 2$ et la constante de Catalan.

Il apparaît aussi dans la distribution sécante hyperbolique.

Séries convergeant rapidement

Les deux formules suivantes convergent rapidement vers K et sont donc ainsi appropriées pour le calcul numérique:

$K = \,$	$3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left( -\frac{1}{2(8n+2)^2} +\frac{1}{2^2(8n+3)^2} -\frac{1}{2^3(8n+5)^2} +\frac{1}{2^3(8n+6)^2} -\frac{1}{2^4(8n+7)^2} +\frac{1}{2(8n+1)^2} \right) -$
	$2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}} \left( \frac{1}{2^4(8n+2)^2} +\frac{1}{2^6(8n+3)^2} -\frac{1}{2^9(8n+5)^2} -\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2} -\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2} +\frac{1}{2^3(8n+1)^2} \right)$

$K = \frac{\pi}{8} \ln \left(\sqrt{3} + 2 \right) + \frac{3}{8} \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!(2n+1)^2}.$

Les calculs théoriques pour une telle série sont données par Broadhurst.^[1]

Décimales connues

Le nombre de chiffres connus de la constante de Catalan a augmenté radicalement pendant les dernières décennies. Ceci est dû à l'augmentation des performances des ordinateurs et aux améliorations algorithmiques..^[2]

**Nombres de chiffres connus de la constante de Catalan**
Date	Décimales	Calculé par
Octobre 2006	5,000,000,000	Shigeru Kondo^[3]
2002	201,000,000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001	100,000,500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
4 janvier 1998	12,500,000	Xavier Gourdon
1997	3,379,957	Patrick Demichel
1996	1,500,000	Thomas Papanikolaou
29 septembre 1996	300,000	Thomas Papanikolaou
14 août 1996	100,000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996	50,000	Greg J. Fee
1990	20,000	Greg J. Fee
1913	32	James W. L. Glaisher
1877	20	James W. L. Glaisher

Notes et références

↑ D.J. Broadhurst, "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)", (1998) arXiv math.CA/9803067
↑ Gourdon, X., Sebah, P; Constants and Records of Computation
↑ Shigeru Kondo's website

Lien interne

Bibliographie

Les nombres remarquables, F. Le Lionnais, Hermann, 1983 puis 1999 (ISBN 2-7056-1407-9)

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