Abscisse curviligne

En géométrie différentielle, l'abscisse curviligne est une sorte de variante algébrique de la longueur d'un arc. On se donne une origine à partir de laquelle on calcule les longueurs, en les munissant d'un signe pour se situer de façon bien déterminée sur la courbe : à telle distance avant ou après le point initial. L'abscisse curviligne est donc l'analogue, sur une courbe, de l'abscisse sur une droite orientée.

Pour les arcs réguliers, l'abscisse curviligne permet de reparamétrer la courbe de façon à s'affranchir des considérations sur la vitesse de parcours. C'est la première opération permettant de définir des notions attachées à la courbe, indépendamment du paramétrage choisi.

Définition

Élément de longueur

On se place pour ce calcul dans le plan euclidien, rapporté à un repère orthonormal. On envisage un arc paramétré de classe $\mathcal C^1$ donné par une fonction $\overrightarrow{f}(t)=(x(t),y(t))$ pour t variant dans un segment [a,b]. On va obtenir une formule pour la longueur en manipulant librement les notations différentielles, ce qui pourrait être rendu parfaitement rigoureux.

On peut parler du vecteur déplacement infinitésimal

$\overrightarrow{df} = \overrightarrow{f}(t+dt)-\overrightarrow{f}(t)=\overrightarrow{\frac{df}{dt}}dt~$

Notons sa norme ds : c'est la longueur infinitésimale parcourue pendant l'intervalle de temps dt. Alors la longueur de l'arc est obtenue en sommant ces longueurs élémentaires

$L=\int ds = \int_a^b \frac{ds}{dt} dt = \int_a^b \left\|\frac{d\overrightarrow{f}}{dt}\right\| dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} dt~$

On pourra résumer cette formule en exprimant la valeur de la longueur infinitésimale sous la forme

d s 2 = d x 2 + d y 2

D'autres formules peuvent s'établir de la même façon (pour des courbes de l'espace euclidien à 2, 3 dimensions), avec, suivant le système de coordonnées choisi

$d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2$ coordonnées cartésiennes dans l'espace
$d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2$ coordonnées polaires dans le plan
$d s 2 = d r 2 + r 2 d ϕ 2 + d z 2$ coordonnées cylindriques dans l'espace
$d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 θ d ϕ 2$ coordonnées sphériques dans l'espace
$ds^2=dx_1^2+...+dx_n^2$ coordonnées cartésiennes dans l'espace euclidien à n dimensions

Pour donner à ces formules un sens rigoureux, il faudrait introduire les notions générales de forme quadratique et de tenseur métrique. Pour obtenir les formules usuelles, il suffit cependant de manipuler l'interprétation en termes d'éléments de longueur infinitésimaux.

Abscisse curviligne

On procède à une introduction plus soigneuse de l'abscisse curviligne qui est la quantité s déjà rencontrée dans les formules telles que $d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2$ .

L'arc paramétré f est supposé de classe $\mathcal C^1$ et régulier (vecteur dérivé non nul en chaque point), à valeurs dans un espace euclidien. On se donne un point de référence $t 0$ et on appelle abscisse curviligne d'origine $t 0$

$s (t)=\int_{t_0}^t \left\|\frac{d\overrightarrow{f}}{dt}\right\| dt$

Cette quantité existe bien comme primitive d'une fonction continue. Elle correspond à la longueur de la courbe entre $t 0$ et t, avec un signe qui indique si on est avant ou après le point origine.

Vecteur tangent unitaire

Si le paramètre t s'interprète comme le temps, le vecteur dérivé devient un vecteur vitesse. Il a pour norme v vitesse scalaire. Il est donc de la forme

$\frac{d\overrightarrow{f}}{dt}=v\overrightarrow{T} \qquad \hbox{ avec } v=\frac{ds}{dt}$

Le vecteur $\overrightarrow{T}$ ainsi introduit est appelé vecteur tangent unitaire. Il est dirigé dans le sens du mouvement.

Effet d'un changement de paramètre

Quand on change de paramètre en respectant l'orientation, les notions d'abscisse curviligne et de longueur sont inchangées. On peut le voir en utilisant la formule de changement de variable dans l'intégrale qui définit s. Du coup la notion de vecteur tangent unitaire est également inchangée.

Paramétrage normal

On peut notamment choisir comme paramètre l'abscisse curviligne elle-même.

Dans ce nouveau paramétrage, appelé paramétrage normal, le vecteur dérivé est de norme 1 en chaque point. On parcourt donc l'arc à vitesse uniforme.

Ce qui donne une autre interprétation du vecteur tangent unitaire : c'est le vecteur vitesse qu'on obtient en reparamétrant par l'abscisse curviligne.

$\frac{d\overrightarrow{f}}{ds}=\overrightarrow{T}(s)$

On peut ensuite bâtir les autres éléments du repère de Frenet et introduire la notion de courbure.

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Abscisse curviligne

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