Conjecture de Legendre

Conjecture de Legendre

La conjecture de Legendre, proposée par Adrien-Marie Legendre, énonce qu'il existe un nombre premier entre n2 et (n+1)2 pour tout entier n.

Cette conjecture est l'un des problèmes de Landau, et n'a pas été résolue à l'heure actuelle (2011).

Sommaire

Résultats partiels

Une des voies d'étude de ce problème a été de tenter d'adapter le postulat de Bertrand.

Chen Jingrun a démontré en 1975 qu'un nombre premier ou semi-premier vérifiait toujours la conjecture de Legendre.

D'autre part, il a été démontré par Iwaniec et Pintz en 1984, qu'il existe toujours un nombre premier entre n-nθ et n, avec θ = 23 / 42.

Lien avec la conjecture de Riemann

La conjecture de Legendre est liée à l'hypothèse de Riemann :

Soit n la valeur [\sqrt{p_m}]+1. Selon la conjecture de Legendre il existerait un nombre premier p entre n² et (n+1)². On a ainsi les inégalités :

[\sqrt{p_m}]^2 <p_m \le ([\sqrt{p_m}]+1)^2<p<([\sqrt{p_m}]+2)^2

soit encore, puisque p_{m+1} \le p,

[\sqrt{p_m}]^2 < p_m < p_{m+1} < p_m +4\sqrt{p_m}+4.

On a ainsi

p_{m+1}-p_m \le 4\sqrt{p_m}+4.

Or l'hypothèse de Riemann implique, pour une constante C > 0 adaptée,

p_{m+1}-p_m \le C\sqrt{p_m} \ln p_m.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Legendre's conjecture », MathWorld

Bibliographie

Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Raisonnements divins, Springer, 2006 (ISBN 2-287-33845-4)


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