Faisceau Injectif

Faisceau injectif

Un faisceau de groupes abéliens $\mathcal F$ sur un espace topologique X est dit injectif lorsque, pour tout sous-faisceau $\mathcal A$ d'un faisceau de groupes abéliens $\mathcal B$ sur X, tout morphisme injectif de faisceaux de groupes abéliens $i:\mathcal{A}\rightarrow \mathcal{F}$ se prolonge en un morphisme $g:\mathcal{B}\rightarrow \mathcal{F}$ .

Pour rappel, tout groupe abélien se plonge dans un groupe abélien injectif. De manière analogue :

Tout faisceau $\mathcal F$ de groupes abéliens sur X se plonge dans un faisceau injectif de groupes abéliens.

Démonstrations

Pour tout point $x\in X$ , il existe un plongement de la tige $\mathcal{F}_x$ dans un groupe abélien

J x

. Introduisons le faisceau gratte-ciel

J' x

défini par :

J' x (U) = J x

si $x\in U$ ;

J' x (U) = 0

sinon.

Pour tout faisceau de groupes abéliens $\mathcal A$ , on a :

$Hom_X(\mathcal{A},J'_x)=Hom(A_x,J_x)$

Il s'en suit que

J' x

est un faisceau injectif. Le produit de faisceaux injectifs est un faisceau injectif. L'application naturelle $\mathcal{F}\rightarrow \prod_XJ'_x$ est un monomorphisme de $\mathcal F$ dans un faisceau injectif.

Tout faisceau $\mathcal F$ de groupes abéliens sur X admet une résolution injective $\mathcal{F}\rightarrow I^*$ , id est une suite exacte longue de faisceaux injectifs de groupes abéliens $(I n, d n)$ et un plongement $i:\mathcal{F}\rightarrow I^0$ d'image le noyau de $d 0$ .

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Catégorie : Faisceau

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