Classe de Stiefel-Whitney

Classe de Stiefel-Whitney

En géométrie, les classes de Stiefel-Whitney sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels réels de rang fini.

Elles constituent donc un analogue réel des classes de Chern dans le cas complexe.

Elle portent le nom de Hassler Whitney et de Eduard Stiefel.

Toute classe caractéristique associée aux fibrés vectoriels réels apparait comme un polynôme en les classes de Stiefel-Withney.

Axiomatique

On montre le résultat suivant:

Pour tout fibré vectoriel \xi=E\rightarrow B, il existe des classes de cohomologie w_n(\xi)\in H^n(B;\mathbf{Z}/2), n\in\N, vérifiant les axiomes suivants :

  • w0(ξ) = 1
  • wn(ξ) = 0 pour n strictement supérieur à la dimension des fibres.
  • Si f:B'\rightarrow B est une application continue, alors :

~f^*(w_n(\xi))=w_n(f^*(\xi))

  • Si on note w(\xi)=1+w_1(\xi)+w_2(\xi)+\ldots, alors :

w(\xi\oplus \xi')=w(\xi)\smile w(\xi') où \xi\oplus\xi' désigne la somme de Whitney des fibrés ξ et ξ'

  • w_1(\gamma^1)\neq 0 où γ1 désigne le fibré canonique sur \mathbf{R}P^1

Remarques

La troisième condition assure que les classes de Stiefel-Whitney d'un fibré trivial sont nulles (sauf celle d'indice 0). En effet un fibré trivial est isomorphe à l'image réciproque d'un fibré sur le point. Malheureusement, la réciproque de cette proposition est fausse. Par exemple, on peut montrer que les fibrés tangents sur la sphère de dimension 2 a toutes ses classes de Stiefel-Whitney nulles mais ce fibré est non trivial.

La dernière condition assure que les classes ne sont pas triviales. En effet, si on retirait cette condition, on pourrait poser wi(ξ) = 0 pour tout i\geq 0.

Classification des classes caractéristiques

Cohomologie des grassmanniennes


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Classe de Stiefel-Whitney de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Classe De Stiefel-Whitney — En géométrie, les classes de Stiefel Whitney sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels réels de rang fini. Elles constituent donc un analogue réel des classes de Chern dans le cas complexe. Elle portent le nom de Hassler… …   Wikipédia en Français

  • Classe de stiefel-whitney — En géométrie, les classes de Stiefel Whitney sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels réels de rang fini. Elles constituent donc un analogue réel des classes de Chern dans le cas complexe. Elle portent le nom de Hassler… …   Wikipédia en Français

  • Classe de Stiefel-Withney — Classe de Stiefel Whitney En géométrie, les classes de Stiefel Whitney sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels réels de rang fini. Elles constituent donc un analogue réel des classes de Chern dans le cas complexe. Elle… …   Wikipédia en Français

  • Classe Caractéristique — En topologie algébrique, les classes caractéristiques sont des invariants cohomologiques des fibrés vectoriels, répondant à une tentative de classification. Plus précisément, si est un fibré vectoriel, une classe caractéristique de π est une… …   Wikipédia en Français

  • Classe caracteristique — Classe caractéristique En topologie algébrique, les classes caractéristiques sont des invariants cohomologiques des fibrés vectoriels, répondant à une tentative de classification. Plus précisément, si est un fibré vectoriel, une classe… …   Wikipédia en Français

  • Classe caractéristique — En topologie algébrique, les classes caractéristiques sont des invariants cohomologiques des fibrés vectoriels, répondant à une tentative de classification. Plus précisément, si est un fibré vectoriel, une classe caractéristique de π est une… …   Wikipédia en Français

  • Hassler Whitney — Pour les articles homonymes, voir Whitney. Hassler Whitney (23 mars 1907 – 10 mai 1989) est un mathématicien américain et un des fondateurs de la théorie des singularités (en). Biographie Il …   Wikipédia en Français

  • Theoreme de plongement de Whitney — Théorème de plongement de Whitney En topologie différentielle, le théorème de plongement de Whitney fait le lien entre les notions de variété abstraite et de sous variété de l espace vectoriel réel Rn : toute variété différentielle de… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de plongement de whitney — En topologie différentielle, le théorème de plongement de Whitney fait le lien entre les notions de variété abstraite et de sous variété de l espace vectoriel réel Rn : toute variété différentielle de dimension m peut être plongée dans l… …   Wikipédia en Français

  • Théorème de plongement de Whitney — En topologie différentielle, le théorème de plongement de Whitney fait le lien entre les notions de variété abstraite et de sous variété de l espace vectoriel réel Rn : toute variété différentielle de dimension m peut être plongée dans l… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”