Cercle de courbure

Cercle de courbure

Cercle osculateur

Tangente et cercle de courbure en un point P de la courbe C

En géométrie différentielle, le cercle osculateur ou cercle de courbure est un outil permettant la description locale des courbes. Il s'agit d'un cercle qui approche la courbe mieux que ne le fait la tangente, d'où le nom de cercle osculateur (littéralement, « petite bouche »).

Définitions et propriétés

Une courbe suffisamment régulière possède un cercle de courbure en tout point birégulier, c'est-à-dire en tout point pour lesquels les vecteurs vitesse et accélération sont non colinéaires.

Il est possible de définir le cercle de courbure à partir de la courbure et des éléments du repère de Frenet, ou au contraire de donner une définition géométrique du cercle de courbure, et de définir à partir de lui la courbure.

Défini de façon directe, le cercle de courbure est le cercle le plus proche de la courbe en P, c'est l'unique cercle osculateur à la courbe en ce point. Ceci signifie qu'il constitue une très bonne approximation de la courbe, a priori meilleure que la tangente en P. En effet, il donne non seulement une idée de la direction dans laquelle la courbe avance (direction de la tangente), mais aussi de sa tendance à tourner de part ou d'autre de la tangente.

Le cercle de courbure au point de paramètre t0 est aussi la limite, lorsque t tend vers t0, du cercle passant par les points de paramètre t et t0 et tangent à la courbe en t0 (un tel cercle existe au moins pour t assez proche de t0).

Le cercle de courbure en un point P de la courbe a pour rayon l'inverse de la courbure en P, appelé rayon de courbure. Il est centré sur la droite normale à la courbe en P, et situé à l'intérieur de la concavité de la courbe (la courbe s'enroule autour de son centre de courbure). La tangente à la courbe en P est donc tangente également au cercle de courbure.

Propriétés du centre de courbure

Le centre de courbure peut donc être exprimé à partir des éléments du repère de Frénet par la formule suivante

\overrightarrow{P\Omega} = \frac1{\gamma} \vec{N}

Le centre de courbure en P peut être vu également comme le point d'intersection de la normale en P avec une normale infiniment proche. De ce point de vue, la courbe formée par les centres de courbure successifs, appelée développée de la courbe initiale, est l'enveloppe de la famille des normales à la courbe.

Démonstrations et étude de la position de la courbe et du cercle osculateur

Toutes les propriétés précédentes peuvent être établies de façon analytique. Pour simplifier au maximum l'étude, on munit l'arc d'un paramétrage par l'abscisse curviligne en prenant pour origine le point en lequel on veut calculer le cercle de courbure. Avec ces hypothèses, les vecteurs dérivés successifs sont

\frac{dM}{ds}=T \qquad \frac{d^2M}{ds^2}=\gamma N \qquad \frac{d^3M}{ds^3}=\frac{d\gamma}{ds}N - \gamma^2 T

Les calculs se feront dans le repère de Frenet associé au point d'étude : on note X(s) et Y(s) les coordonnées des points de la courbe relativement à ce repère. Alors

\begin{cases} X(0)=0 \qquad Y(0)=0 \\ X'(0)=1 \qquad Y'(0)=0 \\ X''(0)=0 \qquad Y''(0)=\gamma(0) \\ X'''(0)=-\gamma^2 \qquad Y'''(0)=\frac{d\gamma}{ds}(0) \end{cases}

Si un cercle est osculateur à la courbe au point s=0, il admet pour tangente la droite Y=0, donc son centre se trouve en un point de coordonnées du type (0,Y0). On forme l'équation d'un tel cercle : X2+(Y-Y0)2=Y02. On peut donc vérifier si le point courant sur la courbe est à l'intérieur ou à l'extérieur en calculant le développement limité de l'expression

X(s)^2+(Y(s) -Y_0)^2-Y_0^2=(1-Y_0 \gamma(0)) s^2 - \frac{Y_0}{3}\frac{d\gamma}{ds}(0) s^3+o(s^3)

La condition nécessaire et suffisante pour que le cercle soit osculateur est l'annulation du premier terme, ce qui donne bien Y_0=\frac1{\gamma(0)} rayon de courbure. Ceci prouve l'existence et l'unicité du cercle osculateur.

En outre la position par rapport au cercle osculateur est donnée par le signe de l'expression :

  • si \frac{d\gamma}{ds}(0) \neq 0 (cas le plus fréquent), la courbe traverse le cercle osculateur en ce point. L'ordre de contact est 2 exactement.
  • si le point d'étude est un sommet, c'est-à-dire un point où la dérivée de la fonction courbure est nulle, l'ordre de contact est au moins 3, le cercle est alors surosculateur

Dans ce dernier cas il faudrait poursuivre le développement limité pour connaître la position de la courbe. En général elle reste toujours du même côté du cercle surosculateur.

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