Calcul symbolique

En mathématiques, avant les années 1970, le terme calcul symbolique (en anglais, "umbral calculus", ce qui se traduit par "calcul obscur") était compris comme signifiant les similarités surprenantes entre des équations polynômiales non reliées entre elles, et certaines techniques obscures qui peuvent être utilisées pour les 'démontrer'. Ces techniques furent introduites au cours du XIX^e siècle et sont quelquefois appelées la méthode symbolique de Blissard, et sont quelquefois attribuées à James Joseph Sylvester, qui utilisa la technique de manière extensive, ou au mathématicien Edouard Lucas.

Dans les années 1930 et 1940, Eric Temple Bell essaya de fixer des bases rigoureuses au calcul symbolique, peut-être pas tout à fait avec succès.

Dans les années 1970, Steven Roman, Gian-Carlo Rota et d'autres développèrent le calcul symbolique du point de vue des formes linéaires sur les espaces de polynômes. Actuellement, le calcul symbolique est compris de prime abord au sens d'étude des suites de Sheffer, incluant les suites de polynômes de type binômiaux et les suites d'Appell.

Le calcul symbolique au XIX^e siècle

Cette méthode est un dispositif de notation pour les identités dérivées impliquant des suites de nombres indexées en supposant que les indices sont des exposants. Présenté de la sorte, cela semble absurde, mais cela marche pourtant; les identités dérivées via le calcul symbolique peuvent aussi être dérivées par des méthodes plus complexes qui peuvent être prises littéralement sans difficultés logiques. Un exemple peut être présenté impliquant les polynômes de Bernoulli. Considérons, par exemple, le développement binômial ordinaire

$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^{n-k} y^k$

et la relation remarquablement similaire sur les polynômes de Bernoulli :

$B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}B_{n-k}(x) y^k$

Comparons aussi la dérivée ordinaire

$\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$

à la relation très similaire sur les polynômes de Bernoulli :

$\frac{d}{dx} B_n(x) = nB_{n-1}(x)$

Ces similarités nous permettent de construire des démonstrations obscures, qui, de prime abord ne peuvent pas être correctes, mais qui semblent marcher tout de même. Ainsi, par exemple, en supposant que l'indice n − k est un exposant :

$B_n(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}b^{n-k}x^k=(b+x)^n,$

et, en dérivant, on obtient le résultat escompté :

$B_n'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x)\,$ .

Ci-dessus, la variable b est une "umbra" (mot latin signifiant ombre).

Article détaillé : formule de Faulhaber.

Les séries de Taylor symboliques

Des relations similaires ont aussi été observées dans la théorie des différences finies. La version symbolique des séries de Taylor est donnée par une expression similaire impliquant les k èmes différences vers l'avant $\Delta^k [f]\,$ d'une fonction polynômiale f,

$f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{\Delta^k [f](0)}{k!}(x)_k$

où

$(x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)$

est la factorielle décroissante de Pochhammer. Une relation similaire est valable pour les différences vers l'arrière et la factorielle croissante.

Bell et Riordan

Dans les années 1930 et 1940, Eric Temple Bell a essayé sans succès de donner à cette sorte d'argument une rigueur logique. Le combinatoriste John Riordan, dans son ouvrage Combinatorial Identities publié dans les années 1960, a utilisé ces techniques extensivement.

Le calcul symbolique moderne

Un autre combinatoriste, Gian-Carlo Rota, indiqua que le mystère s'évanouissait si on considère la forme linéaire L sur les polynômes en y définie par

$L(y^n)= B_n(0)= B_n.\,$

Alors, on peut écrire

$B_n(x)=\sum_{k=0}^n{n\choose k}B_{n-k}x^k=\sum_{k=0}^n{n\choose k}L(y^{n-k})x^k=L\left(\sum_{k=0}^n{n\choose k}y^{n-k}x^k\right)=L((y+x)^n),$

etc. Rota proclama, plus tard, que beaucoup de confusion résultait de l'échec à distinguer les trois relations d'équivalence qui apparaissent dans ce sujet, toutes étant désignées par le symbole "=".

Dans un article publié en 1964, Rota utilisa des méthodes symboliques pour établir la formule récursive satisfaite par les nombres de Bell, qui énumèrent les partitions des ensembles finis.

Dans l'article de Roman et Rota, le calcul symbolique est caracterisé comme l'étude de l'algèbre symbolique, définie comme l'algèbre de formes linéaires sur l'espace vectoriel des polynômes de variable x, qui est un produit L₁L₂ de formes linéaires défini par

$\langle L_1 L_2 \mid x^n \rangle = \sum_{k=0}^n {n \choose k}\langle L_1 \mid x^k\rangle \langle L_2 \mid x^{n-k} \rangle.$

Lorsque les suites de polynômes remplacent les suites de nombres comme images de yⁿ sous l'application linéaire L, alors la méthode symbolique est vue comme un composant essentiel de la théorie générale des polynômes spéciaux de Rota, et cette théorie est le calcul symbolique par quelques définitions plus modernes du terme. Un petit exemplaire de cette théorie peut être trouvé dans l'article sur les suites de polynômes de type binômial. Un autre peut être trouvé dans l'article intitulé suite de Sheffer.

Références

Steven Roman et Gian-Carlo Rota, "The Umbral Calculus", Advances in Mathematics, volume 27, pages 95 - 188, (1978).
G.-C. Rota, D. Kahaner, et A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus," Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, Juin 1973. Réédité avec le même titre, Academic Press, New York, 1975.
Steven Roman, The Umbral Calculus, Dover Publications.

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