Polynômes de Bell

Polynômes de Bell

En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, les polynômes de Bell, nommés ainsi d'après le mathématicien Eric Temple Bell, sont donnés par

B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})=\sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!} \left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},

où la somme porte sur toutes les suites j1, j2, j3, ..., jn−k+1 d'entiers naturels tels que

j_1+j_2+\cdots = k\quad\mbox{et}\quad j_1+2j_2+3j_3+\cdots=n.

Sommaire

Identité de convolution

Pour des suites xn, yn, n = 1, 2, ..., on peut définir un produit de convolution par

(x \diamondsuit y)_n = \sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} x_j y_{n-j}

(les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n).

Soit x_n^{k\diamondsuit}\, le n-ème terme de la suite

\displaystyle\underbrace{x\diamondsuit\cdots\diamondsuit x}_{k\ \mathrm{factors}}.\,

Alors

B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_{n}^{k\diamondsuit} \over k!}.\,

Polynômes de Bell complets

La somme

B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})

est parfois appelée n-ème polynôme de Bell complet, et alors les polynômes Bn, k définis ci-dessus sont appelés des polynômes de Bell "partiels". Les polynômes de Bell complets satisfont l'identité suivante :

B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}x_1 & {n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & {n-1 \choose 4} x_5 & \cdots & \cdots & x_n \\ \\ -1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & {n-2 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\ \\ 0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & {n-3 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\ \\ 0 & 0 & -1 & x_1 & {n-4 \choose 1} x_2 & \cdots & \cdots & x_{n-3} \\ \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-5} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1 \end{bmatrix}.

Interprétation combinatoire

Si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparait j1 fois, "2" apparait j2 fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments qui correspondent à cette partition de l'entier n quand on ne distingue plus les éléments de l'ensemble est le coefficient correspondant du polynôme.

Exemples

Par exemple, nous avons

B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2

car il y a

6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1,
15 partitions de la forme 4 + 2, et
10 partitions de la forme 3 + 3.

De même,

B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3

car il y a

15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1,
60 partitions de la forme 3 + 2 + 1, et
15 partitions de la forme 2 + 2 + 2.

Nombres de Stirling et nombres de Bell

La valeur du polynôme de Bell Bn,k(x1,x2,...)lorsque tous les xi valent 1 est un nombre de Stirling de deuxième espèce :

B_{n,k}(1,1,\dots)=S(n,k)=\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}.

La somme

\sum_{k=1}^n B_{n,k}(1,1,1,\dots) = \sum_{k=1}^n\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}

est le n-ème nombre de Bell, c'est-à-dire le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments.

Applications

Formule de Faà di Bruno

La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante :

{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).

De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que

f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad \mathrm{et} \qquad g(x)=\sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n.

Alors

g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty {\sum_{k=1}^{n} b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) \over n!} x^n.

Les polynômes de Bell "complets" apparaissent dans l'exponentielle d'une série formelle[1] :

\exp\left(\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \right) = \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n.

Moments et cumulants

La somme

B_n(\kappa_1,\dots,\kappa_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(\kappa_1,\dots,\kappa_{n-k+1})

est le n-ème moment d'une distribution de probabilité dont les n premiers cumulants sont κ1, ..., κn. Autrement dit, le n-ème moment est le n-ème polynôme de Bell complet évalué en les n premiers cumulants.

Représentations de suites polynomiales

Pour toute suite a1, a2, a3, ... de scalaires, soit

p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.

Cette suite de polynômes est de type binomial[2], c'est-à-dire qu'elle satisfait l'identité binomiale

p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y)

pour n ≥ 0. En fait, on a le résultat réciproque suivant :

Théorème : Toutes les suites de polynômes de type binomial sont de cette forme.

Si nous posons

h(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n

en considérant cette série comme une série formelle, alors pour tout n,

h^{-1}\left( {d \over dx}\right) p_n(x) = n p_{n-1}(x).

Notes et références

Notes

  1. ↑ Voir aussi la formule exponentielle (en).
  2. ↑ Voir l'article binomial type (en) pour une étude approfondie de ces suites

Références


Voir aussi


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