Plongement de Segre

Plongement de Segre

Le plongement de Segre est, en géométrie algébrique, un morphisme qui identifie le produit fibré de deux espaces projectifs à une variété projective. Une conséquence en est que le produit fibré de deux variétés projectives est une variété projective.

Le cas des espaces projectifs

On fixe un corps k et deux entiers naturels n,m > 0 et on considère le produit fibré P=\mathbb P^n_k \times_k \mathbb P^m_k des espaces projectifs de dimensions respectives n,m. Alors il existe un morphisme de variétés algébriques

f: P \to \mathbb P^{nm+n+m}_k

qui est une immersion fermée (i.e. f induit un isomorphe sur son image qui est une sous-variété fermée de \mathbb P^{nm+n+m}_k). De plus, au niveau des points rationnels, on a

f((x_0 :\ldots: x_n), (y_0 :\ldots: y_m)) = (x_0y_0:x_0y_1:\ldots:x_0y_m: x_1y_0:\ldots: x_ny_m).

Cette immersion est appelée le plongement de Segre.

De façon formelle, ce morphisme peut être construit localement sur un recouvrement affine. En effet P est la réunion des D_+(X_i)\times_k D_+(Y_j), et \mathbb P^{nm+n+m}_k={\rm Proj} k[T_{ij}]_{0\le i\le n, 0\le j\le m} est recouvert par les ouverts affines D + (Tij). Sur D_+(X_i)\times_k D_+(Y_j), le morphisme f est le morphisme de variétés affines

D_+(X_i)\times_k D_+(Y_j)\to D_+(T_{ij})

correspondant au morphisme surjectif de k-algèbres

k[T_{kl}/T_{ij}]_{k, l} \to k[X_k/X_i, Y_l/Y_j]_{k,l}, \quad T_{kl}/T_{ij}\mapsto (X_k/X_i)(Y_l/Y_j).

Exemple

Si n = m = 1, alors f identifie le produit \mathbb P^1_k\times_k \mathbb P^1_k des droites projectives à son image dans \mathbb P^3_k, laquelle est la quadrique d'équation

t0t3 − t1t2 = 0.

Cas général

Soient X,Y des variétés projectives sur k. Par définition, elles sont isomorphes respectivement à des sous-variétés fermées de \mathbb P^n_k et \mathbb P^m_k. Alors le produit fibré X\times_k Y est isomorphe à une sous-variété fermée de \mathbb P^n_k\times_k \mathbb P^m_k. Comme celle-ci est une variété projective par le plongement de Segre, on en déduit que X\times_k Y est aussi une variété projective.


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Plongement de Segre de Wikipédia en français (auteurs)

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