- Nombre premier de Ramanujan
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En mathématiques, un nombre premier de Ramanujan est un nombre premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers.
Origines et définition
En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration[1] du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Chebyshev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :
- π(x) − π(x / 2) ≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... pour tout x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... suite A104272 de l’OEIS respectivement,
où π(x) est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.
L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres 2, 11, 17, 29, 41 sont les premiers nombres conformes à cette définition. Autrement dit :
- Le nième premier de Ramanujan est l'entier Rn qui est le plus petit à satisfaire la condition
- π(x) − π(x / 2) ≥ n, pour tout x ≥ Rn[2].
Une autre façon de poser ce résultat est:
- Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers Rn qui sont les plus petits à garantir qu'il y a n premiers entre x et x/2 pour tout x ≥ Rn.
Puisque Rn est le plus petit nombre conforme à ces conditions, il doit être premier: π(x) − π(x / 2) et donc π(x) doivent augmenter en obtenant un autre nombre premier x = Rn. Puisque π(x) − π(x / 2) peut augmenter d'au moins 1,
- π(Rn) − π(Rn / 2) = n.
inégalités et équivalents
Pour tout n ≥ 1,
- 2n ln 2n < Rn < 4n ln 4n
Si n > 1, alors
- p2n < Rn < p3n,
où pn est le nième nombre premier.
Si n tend vers l'infini, Rn est équivalent au 2nième premier, i.e.,
- Rn ~ p2n.
Tous ces résultats sont démontrés dans l'ouvrage "Ramanujan primes and Bertrand's postulate"[3], excepté l'inégalité ci-dessus Rn < p3n, qui fut conjecturée par Jonathan Sondow et démontrée par Shanta Laishram.
Références
- S. Ramanujan, "A proof of Bertrand's postulate". Journal of the Indian Mathematical Society 11 (1919), 181–182. [1]
- Jonathan Sondow, Ramanujan Prime from MathWorld
- J. Sondow, "Ramanujan primes and Bertrand's postulate". Amer. Math. Monthly 116 (2009), 630–635. [2]
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