Espace Localement Annelé

Espace Localement Annelé

Espace localement annelé

Un espace localement annelé est un espace topologique X muni d'un faisceau d'anneaux (commutatifs unitaires) OX, appelé faisceau structural, tel qu'en tout point, l'anneau des germes de OX soit un anneau local.

Si A est un anneau (commutatif unitaire), un espace localement annelé dont le faisceau structural est un faisceau de A-algèbres est un espace localement annelé sur A.

Soit x un point de X. Soit mx l'idéal maximal de l'anneau local OX,x. Le quotient k(x): = OX,x / mx est le corps résiduel de X en x.

Exemples

Morphismes

Un morphisme entre deux espaces localement annelés (X, OX) et (Y, OY) est la donnée d'une application continue f : XY et d'un morphisme de faisceaux d'anneaux f# : OY → f*OX tel que pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x)OX, x induit par f# soit un morphisme d'anneaux locaux (c'est-à-dire qu'il envoie l'idéal maximal de l'anneau source dans l'idéal maximal de l'anneau but). Quand il n'y a pas d'ambiguïté possible, on note souvent le morphisme (f, f^{\#}) par f.

Un exemple trivial de morphisme est l'identité d'un espace dans lui-même. On peut naturellement composer deux morphismes (X, O_X) \to (Y, O_Y) , (Y, O_Y) \to (Z, O_Z) pour obtenir un morphisme (X, O_X) \to (Z, O_Z) . Un isomorphisme est un morphisme f : (X, O_X) \to (Y, O_Y) qui admet un morphisme inverse, c'est-à-dire dont la composition (à gauche ou à droite) avec f est égale à l'identité.

Un morphisme (f, f#) : (X, OX) → (Y, OY) est une immersion si f est une immersion au sens topologique (c'est-à-dire que f induit un homéomorphisme de X sur son image), et si pour tout x ∈ X, le morphisme d'anneaux OY, f(x)OX, x est surjectif.

Exemple Soit x un point de X. Alors l'espace topologique {x} muni du faisceau constant k(x) est un espace localement annelé, et on a un morphisme ({x}, k(x)) \to (X, O_X) qui est l'inclusion canonique \{ x \} \to X au niveau du point x. C'est une immersion.

Espaces tangent

Soit x un point de X. Soit mx l'idéal maximal de l'anneau local OX,x. Alors le quotient m_x/m_x^2=m_x\otimes_{O_{X,x}}k(x) est un espace vectoriel sur k(x). Son dual s'appelle l'espace tangent (de Zariski) de X en x. Dans les cas usuels (variétés différentielles, variétés analytiques complexes), cette notion coincide avec la définition standard.

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